专题21.6 二次函数与一元二次方程-重难点题型（举一反三）（沪科版）（解析版）-九年级数学上册举一反三系列（沪科版）

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专题 21.6 二次函数与一元二次方程-重难点题型
【沪科版】
【知识点 1 二次函数图象与 x轴的交点情况决定一元二次方程根的情况】
根的判别式 二次函数的图象 二次函数与 x 轴的交点坐标 一元二次方程根的情况
△＞0
抛 物 线 与 x
轴 交 于 ， 两
点，且 ，
此时称抛物线与 x 轴相交
一元二次方程
有两个不相等的实数根
△＝0
抛 物 线 与 x
轴交切于 这一点，此时称
抛物线与 x 轴相切
一元二次方程
有 两 个 相 等 的 实 数 根
△＜0
抛 物 线 与 x
轴无交点，此时称抛物线与 x 轴相
离
一元二次方程
在实数范围内无解（或
称无实数根）
【题型 1 抛物线与 x轴的交点】
【例 1】（2021•海珠区一模）已知二次函数 y＝﹣x2+bx+c的顶点为（1，5），那么关于 x的一元二次方程
﹣x2+bx+c4﹣＝0的根的情况是（　　）
A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根
C．没有实数根 D．无法确定
【解题思路】求出抛物线的表达式 y＝﹣（x1﹣）2+5＝﹣x2+2x+4，进而求解．
【解答过程】解：设抛物线的表达式为 y＝a（x﹣h）2+k，
则y＝﹣（x1﹣）2+5＝﹣x2+2x+4，
则﹣x2+bx+c4﹣＝0化为﹣x2+2x＝0，
解得 x＝0或2，
故选：A．
【变式 1-1】（2020 秋•路南区期末）小明在解二次函数 y＝ax2+bx+c时，只抄对了 a＝1，b＝4，求得图象
过点（﹣1，0）．他核对时，发现所抄的 c比原来的 c值大 2，则抛物线与 x轴交点的情况是（　　）
A．只有一个交点 B．有两个交点
C．没有交点 D．不确定
【解题思路】先把 a＝1，b＝4，（﹣1，0）代入 y＝ax2+bx+c中求出抄错的 c的值，再得到确定 c的值，
从而得到抛物线的解析式应该为 y＝x24﹣x+1，然后利用判别式的意义进行判断．
【解答过程】解：根据题意得
{
a=1
b=4
a−b+c=0
，
∴a＝1，b＝4，c＝3，
∵所抄的 c比原来的 c值大 2，
∴原来 c的值为 1，
∴抛物线的解析式应该为 y＝x24﹣x+1，
∵△＝（﹣4）24×1﹣＝12＞0，
∴抛物线与 x轴有 2个交点．
故选：B．
【变式 1-2】（2021•铜仁市）已知抛物线 y＝a（x﹣h）2+k与x轴有两个交点 A（﹣1，0），B（3，0），
抛物线 y＝a（x﹣h﹣m）2+k与x轴的一个交点是（4，0），则 m的值是（　　）
A．5 B．﹣1 C．5或1 D．﹣5或﹣1
【解题思路】先利用二次函数的性质得到两抛物线的对称轴，然后利用 A点或 B点向右平移得到点
（4，0）得到 m的值．
【解答过程】解：∵抛物线 y＝a（x﹣h）2+k的对称轴为直线 x＝h，抛物线 y＝a（x﹣h﹣m）2+k的对称
轴为直线 x＝h+m，
∴当点 A（﹣1，0）平移后的对应点为（4，0），则 m＝4﹣（﹣1）＝5；
当点 B（3，0）平移后的对应点为（4，0），则 m＝4 3﹣＝1，
即m的值为 5或1．
故选：C．
【变式 1-3】（2020 秋•长春期末）在平面直角坐标系中，若函数 y＝（k2﹣）x22﹣kx+k的图象与坐标轴共
有三个交点，则下列各数中可能的 k值为（　　）
A．﹣1 B．0 C．1 D．2
【解题思路】根据函数 y＝（k2﹣）x22﹣kx+k的图象与坐标轴共有三个交点，可以得到关于 k的不等式
组，从而可以求得 k的取值范围，然后即可解答本题．
【解答过程】解：∵函数 y＝（k2﹣）x22﹣kx+k的图象与坐标轴共有三个交点，
∴
¿
，
解得 k＞0且k≠2，
故选：C．
【题型 2 抛物线与 x轴交点上的四点问题】
【例 2】（2021•碑林区校级模拟）已知抛物线 y＝（x﹣x1）（x﹣x2）+1（x1＜x2），抛物线与 x轴交于
（m，0），（n，0）两点（m＜n），则 m，n，x1，x2的大小关系是（　　）
A．x1＜m＜n＜x2B．m＜x1＜x2＜nC．m＜x1＜n＜x2D．x1＜m＜x2＜n
【解题思路】设 y′＝（x﹣x1）（x﹣x2），而 y＝（x﹣x1）（x﹣x2）+1＝y′+1，即函数 y′向上平移 1个单
位得到函数 y，通过画出函数大致图象即可求解．
【解答过程】解：设 y′＝（x﹣x1）（x﹣x2），则 x1、x2是函数 y′和x轴的交点的横坐标，
而y＝（x﹣x1）（x﹣x2）+1＝y′+1，
即函数 y′向上平移 1个单位得到函数 y，
则两个函数的图象如下图所示（省略了 y轴），
从图象看，x1＜m＜n＜x2，
故选：A．
【变式 2-1】（2021•上城区二模）已知二次函数 y＝ax2+bx+c（a＞0）与 x轴正半轴交于 A（p，0）和
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