专题16.5分母有理化与有理化因式（重难点培优）-2021-2022学年八年级数学上册尖子生同步培优题典（解析版）【沪教版】

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2021-2022 学年八年级数学上册尖子生同步培优题典【沪教版】
专题 16.5 分母有理化与有理化因式（重难点培优）
姓名：__________________ 班级：______________ 得分：_________________
注意事项：
本试卷满分 100 分，试题共 24 题，选择 10 道、填空 9 道、解答 5 道．答卷前，考生务必用 0.5 毫米黑
色签字笔将自己的姓名、班级等信息填写在试卷规定的位置．
一、选择题（本大题共 10 小题，每小题 3分，共 30 分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合
题目要求的．
1．（2021•奉贤区二模）在下列各式中，二次根式
❑
√
a+❑
√
b
的有理化因式是（　　）
A．
❑
√
a+❑
√
b
B．
❑
√
a −❑
√
b
C．
❑
√
a+b
D．
❑
√
a −b
【分析】根据有理化因式的定义逐个判断即可．
【解析】
❑
√
a+❑
√
b
的有理化因式是
❑
√
a −❑
√
b
，
故选：B．
2．（2020 秋•浦东新区期中）已知 a
¿❑
√
3+❑
√
2
，b
，那么 a与b的关系为（　　）
A．互为相反数 B．互为倒数
C．相等 D．a是b的平方根
【分析】直接利用二次根式的性质计算得出答案．
【解析】∵a
¿❑
√
3+❑
√
2
，b
¿❑
√
3−❑
√
2
，
∴ab＝（
❑
√
3+❑
√
2
）（
❑
√
3−❑
√
2
）＝1，
故a与b的关系为互为倒数．
故选：B．
3．（2020 秋•长宁区期末）如 x为实数，在“（
❑
√
3−
1）□x”的“□”中添上一种运算符号（在“+”、
“﹣”、“×”、“÷”中选择），其运算结果是有理数，则 x不可能是（　　）
A．
❑
√
3−
1 B．
❑
√
3+¿
1 C．3
❑
√
3
D．1
−❑
√
3
【分析】直接利用二次根式的混合运算法则分别判断得出答案．
【解析】A、（
❑
√
3−
1）÷（
❑
√
3−
1）＝1，故不合题意；
B、（
❑
√
3−
1）×（
❑
√
3+¿
1）＝2，故不合题意；
C、（
❑
√
3−
1）与 3
❑
√
3
无论运用哪种运算，无法得出有理数，故符合题意；
D、（
❑
√
3−
1）÷（1
−❑
√
3
）＝﹣1，故不合题意；
故选：C．
4．（2019 秋•虹口区校级月考）下列各式中，互为有理化因式的是（　　）
A．
❑
√
a+b，❑
√
a− b
B．
❑
√
5−❑
√
2，❑
√
5−❑
√
2
C．
❑
√
x −1，❑
√
x − 1
D．
−❑
√
a+❑
√
b，❑
√
a −❑
√
b
【分析】利用有理化因式判断即可．
【解析】
❑
√
x −1
与
❑
√
x −1
互为有理化因式，
故选：C．
5．（2019 秋•浦东新区校级月考）下列结论中正确的是（　　）
A．
❑
√
a+b
是
❑
√
a −b
的有理化因式
B．
❑
√
4x2−6xy +9y2
不是最简二次根式
C．3 2﹣
❑
√
3
的绝对值是 3 2﹣
❑
√
3
D．3+2
❑
√
2
的倒数是 3 2﹣
❑
√
2
【分析】直接利用绝对值以及二次根式的性质分别判断得出答案．
【解析】A、
❑
√
a+b
是
❑
√
a+b
的有理化因式，故此选项错误；
B、
❑
√
4x2−6xy +9y2
，是最简二次根式，故此选项错误；
C、3 2﹣
❑
√
3
的绝对值是 2
❑
√
3−
3，故此选项错误；
D、3+2
❑
√
2
的倒数是 3 2﹣
❑
√
2
，故此选项正确；
故选：D．
6．（2019 秋•上海月考）若 a＝1
−❑
√
2
，b
¿−1
❑
√
2+1
，则 a与b的关系是（　　）
A．互为相反数 B．相等
C．互为倒数 D．互为有理化因式
【分析】先利用分母有理化得到 b
¿−❑
√
2+¿
1，从而可判断 a与b的关系．
【解析】b
¿−1
❑
√
2+1=−
（
❑
√
2−
1）
¿−❑
√
2+¿
1，
而a＝1
−❑
√
2
，
所以 a＝b．
故选：B．
7．（2019 秋•浦东新区校级月考）下列各式中，互为有理化因式的是（　　）
A．
❑
√
a+b
和
❑
√
a −b
B．
❑
√
1− x
和
−❑
√
x+1
C．
❑
√
5−❑
√
2
和
−❑
√
5+❑
√
2
D．x
❑
√
a+¿
y
❑
√
b
和x
❑
√
a −
y
❑
√
b
【分析】利用有理化因式的定义对各选项进行判断．
【解析】∵（x
❑
√
a+¿
y
❑
√
b
）（x
❑
√
a −
y
❑
√
b
）＝（x
❑
√
a
）2﹣（y
❑
√
b
）2＝ax2﹣by2．
∴x
❑
√
a+¿
y
❑
√
b
和x
❑
√
a −
y
❑
√
b
互为有理化因式．
故选：D．
8．（2019 秋•青浦区校级月考）在二次根式
❑
√
56
、
❑
√
x2+y2
、
❑
√
0.5
、
5
❑
√
3
中，最简二次根式的个数是（
）
A．1个B．2个C．3个D．4个
【分析】利用最简二次根式定义判断即可．
【解析】
❑
√
56=¿
2
❑
√
14
，
❑
√
x2+y2
为最简二次根式，
❑
√
0.5=❑
√
1
2=
❑
√
2
2
，
5
❑
√
3=5❑
√
3
3
，
则最简二次根式的个数是 1个，
故选：A．
9．（2021•天河区一模）已知 a
¿❑
√
2−
1，b
¿❑
√
2+¿
1，则 a2+b2的值为（　　）
A．8 B．1 C．6 D．4
❑
√
2
【分析】根据二次根式的加法法则求出 a+b，根据乘法法则求出 ab，根据完全平方公式把原式变形，代
入计算即可．
【解析】∵a
¿❑
√
2−
1，b
¿❑
√
2+¿
1，
∴a+b＝2
❑
√
2
，ab＝2 1﹣＝1，
∴a2+b2＝（a+b）22﹣ab＝8 2﹣＝6，
故选：C．
10．（2020•山西模拟）我国南宋著名数学家秦九韶在他著作《数书九章》一书中，给出了著名的秦九韶式，
也叫三斜求积公式，即如果一个三角形的三边分别为 a，b，c，S为面积，则该三角形的面积公式为 S
¿❑
√
1
4¿¿
，已知△ABC 的三边分别是 3，
❑
√
7
和
❑
√
2
，则△ABC 的面积是（　　）
A．
❑
√
14
2
B．
3❑
√
2
2
C．2
❑
√
3
D．3
【分析】直接利用已知运算公式把数据代入进而得出答案．
【解析】∵△ABC 的三边分别是 3，
❑
√
7
和
❑
√
2
，
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