2.1 圆-2021-2022学年九年级数学上册同步精品课时备课系列（苏科版）（解析版）

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2.1 圆
【基础知识】
一、圆的定义
1. 圆的描述概念
如图，在一个平面内，线段 OA 绕它固定的一个端点 O 旋转一周，另一个端点 A 随之旋转所形成的图形叫做
圆，固定的端点 O 叫做圆心，线段 OA 叫做半径. 以点 O 为圆心的圆，记作“⊙O”，读作“圆 O”．
　　　　　　　　
要点：
　 ①圆心确定圆的位置，半径确定圆的大小；确定一个圆应先确定圆心，再确定半径，二者缺一不可；
　②圆是一条封闭曲线.
2.圆的集合概念
圆心为 O，半径为 r 的圆是平面内到定点 O 的距离等于定长 r 的点的集合.
平面上的一个圆，把平面上的点分成三类：圆上的点，圆内的点和圆外的点.
圆的内部可以看作是到圆心的距离小于半径的的点的集合；圆的外部可以看成是到圆心的距离大于半径的点
的集合.
要点：①定点为圆心，定长为半径；
　　 ②圆指的是圆周，而不是圆面；
　　 ③强调“在一个平面内”是非常必要的，事实上，在空间中，到定点的距离等于定长的点的集合是球
面，一个闭合的曲面.
二、点与圆的位置关系
点和圆的位置关系有三种：点在圆内，点在圆上，点在圆外.
若⊙O 的半径为 r，点 P 到圆心 O 的距离为 d，那么：
点 P 在圆内 d ＜ r ；点 P 在圆上 d = r ；点 P 在圆外 d ＞r.
“ ”读作“等价于”，它表示从左端可以推出右端，从右端也可以推出左端.
要点：点在圆上是指点在圆周上，而不是点在圆面上；
三、与圆有关的概念
1. 弦
弦：连结圆上任意两点的线段叫做弦.
　　直径：经过圆心的弦叫做直径.
弦心距：圆心到弦的距离叫做弦心距.
要点：
r
r
r
P
P
P
　　直径是圆中通过圆心的特殊弦，也是圆中最长的弦，即直径是弦，但弦不一定是直径.
　　为什么直径是圆中最长的弦？如图，AB 是⊙O 的直径，CD 是⊙O 中任意一条弦，求证：AB≥CD.
　　　　　　　　
　　证明：连结 OC、OD
　　　　　　 　
　　　　　∵AB=AO+OB=CO+OD≥CD(当且仅当 CD 过圆心 O 时，取“=”号)
　　　　　∴直径 AB 是⊙O 中最长的弦.
2. 弧
弧：圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧.以 A、B 为端点的弧记作 ，读作“圆弧 AB”或“弧 AB”.
　　半圆：圆的任意一条直径的两个端点把圆分成两条弧，每一条弧都叫做半圆；
　　优弧：大于半圆的弧叫做优弧；
　　劣弧：小于半圆的弧叫做劣弧.
要点：①半圆是弧，而弧不一定是半圆；
　　 ②无特殊说明时，弧指的是劣弧.
3.等弧
　　在同圆或等圆中，能够完全重合的弧叫做等弧.
要点：①等弧成立的前提条件是在同圆或等圆中，不能忽视；
② 圆中两平行弦所夹的弧相等.
4.同心圆与等圆
　　圆心相同，半径不等的两个圆叫做同心圆.
　　圆心不同，半径相等的两个圆叫做等圆.
要点：同圆或等圆的半径相等.
【典例剖析】
【典例 1】．下列说法中，正确的是（ ）
A．弦是直径 B．半圆是弧
C．过圆心的线段是直径 D．圆心相同半径相同的两个圆是同心圆
【答案】B
【解析】
试题分析：过圆心的弦是直径，不是所有的弦都是直径，故 A选项错误；圆上任意两点间的部分是弧，故
半圆是弧，故 B正确；过圆心的弦是直径，故 C选项错误；圆心相同，半径不等的两个圆是同心圆，故 D
错误，所以本题选 B.
考点：圆的有关定义.
【典例 2】．已知 的直径是 10， 点到圆心 的距离为 4，则 点与 的位置关系是（ ）
A．在圆外 B．在圆内 C．在圆上 D．无法确定
【答案】B
【分析】
根据点与圆的位置关系判断即可．
【解析】
∵点 到圆心的距离 ，半径 ，
∴点 与 的位置关系是点 在 内．
故选：B．
【点睛】
本题考查了对点与圆的位置关系的判断．关键要记住若半径为 r，点到圆心的距离为 d，则有：当 d＞r时，
点在圆外；当 d=r 时，点在圆上，当 d＜r时，点在圆内．
【典例 3】．下列条件中，能确定一个圆的是（ ）
A．以点 为圆心 B．以 长为半径
C．以点 为圆心， 长为半径 D．经过已知点
【答案】C
【分析】
确定一个圆有两个重要因素，一是圆心，二是半径，据此可以得到答案．
【解析】
A、只确定圆的圆心，不可以确定圆；
B、只确定圆的半径，不可以确定圆；
C、既确定圆的圆心，又确定了圆的半径，可以确定圆；
D、既没有确定圆的圆心，又没有确定圆的半径，不可以确定圆；
故选：C．
【点睛】
本题考查了确定圆的条件，确定圆要首先确定圆的圆心，然后也要确定半径．
【典例 4】．一个点到圆的最小距离为 4cm，最大距离为 9cm，则该圆的半径是（ö ）
A．2.5 cm 或6.5 cm
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