1.4 用一元二次方程解决问题-2021-2022学年九年级数学上册同步精品课时备课系列（苏科版）（解析版）

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1.4 用一元二次方程解决问题
【基础知识】
一、数学建模的一般思路
数学建模的关键是将实际问题数学化，从而得到解决问题的最佳方案、最佳策略.在建模的过程中，为了既
合乎实际问题又能求解，这就要求在诸多因素中抓住主要因素进行抽象化简，而这一过程恰是我们的分析、抽
象、综合、表达能力的体现.函数建模最困难的环节是将实际情景通过数学转化为什么样的函数模型.
二、正确认识实际问题的应用
在实际生活问题中，如何应用函数知识解题，关键是建立函数模型，即列出符合题意的函数解析式，然后
根据函数的性质综合方程（组）、不等式（组）及图象求解.
要点：要注意结合实际，确定自变量的取值范围，这是应用中的难点，也是中考的热门考点.
三、选择最简方案问题
分析问题的实际背景中包含的变量及对应关系，结合一次函数的解析式及图象，通过比较函数值的大小
等，寻求解决问题的最佳方案，体会函数作为一种数学模型在分析解决实际问题中的重要作用.
【典例剖析】
考点一：增长率问题
【典例 1】．某农家前年水蜜桃亩产量为 800 千克，今年的亩产量为 1200 千克．设从前年到今年平均增长
率都为 x，则可列方程（　　）
A．800（1+2x）＝1200 B．800（1+x2）＝1200
C．800（1+x）2＝1200 D．800（1+x）＝1200
【答案】C
【解析】
解：去年水蜜桃的亩产量为 800×（1+x），今年水蜜桃的亩产量在去年水蜜桃的亩产量的基础上增加 x，
为800×（1+x）×（1+x），则列出的方程是 800（1+x）2＝1200，
故选 C．
【点睛】
本题主要考查一元二次方程的应用，熟练掌握一元二次方程的应用是解题的关键．
【典例 2】．电影《我和我的祖国》讲述了普通人与国家之间息息相关的动人故事．一上映就获得全国人
民的追捧，第一天票房约 3亿元，以后每天票房按相同的增长率增长，三天后累计票房收入达 10 亿元，若
把平均每天票房的增长率记作 x，则可以列方程为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【解析】
解：设增长率为 x，由题意可得出，第二天的票房为 3(1+x)，第三天的票房为 3(1+x)2，
根据题意可列方程为 ．
故选：D．
【点睛】
本题考查的知识点是由实际问题抽象出一元二次方程，解题的关键是读懂题意，找出等量关系式．
考点二：传播问题
【典例 3】．某校九年级毕业时，每一个同学都将自己的相片向全班其他同学各送一张表示留念．全班共
送了2550 张相片，如果全班有x名学生，根据题意列出方程为（　　）
A．x（x 1﹣）＝2550 B．x（x+1）＝2550
C．2x（x+1）＝2550 D． ＝2550
【答案】A
【解析】
解：设全班有x名学生，则每人送出（x 1﹣）张相片，
根据题意得 x（x 1﹣）＝2550，
故选：A．
【点睛】
本题考查了一元二次方程的实际应用问题，熟知“互送东西”的等量关系式，是解题的关键．
【典例 4】．为了宣传垃圾分类，童威写了一篇倡议书，决定用微博转发的方式传播．他设计了如下的传
播规则：将倡议书发表在自己的微博上，再邀请 n个好友转发，每个好友转发之后，又邀请 n个互不相同
的好友转发，依次类推．已知经过两轮转发后，共有 111 个人参与了宣传活动，则 n的值为（ ）
A．9 B．10 C．11 D．12
【答案】B
【解析】
由题意，得
n+n2+1=111，
解得：n1=-11（舍去），n2=10，
故选 B．
【点睛】
本题考查了列一元二次方程解实际问题的运用，解答时先由条件表示出第一轮增加的人数和第二轮增加的
人数根据两轮总人数为 111 人建立方程是关键．
【典例 5】．学校组织一次乒乓球赛，要求每两队之间都要赛一场．若共赛了28 场，则有几个球队参赛？
设有个球队参赛，则 满足的关系式为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】
设有x个球队参加比赛，那么第一个球队和其他球队打（x-1）场球，第二个球队和其他球队打（x-2）场，
以此类推可以知道共打（1+2+3+…+x-1）场球，然后根据计划安排 28 场比赛即可列出方程.
【解析】
设有x个球队参加比赛，
依题意得 1+2+3+…+x-1=28，
即
故选：B.
【点睛】
此题考查了一元二次方程的应用，和实际生活结合比较紧密，准确找到关键描述语，从而根据等量关系准
确的列出方程是解决问题的关键.
考点三：几何问题
【典例 6】．把一块长与宽之比为 2：1的铁皮的四角各剪去一个边长为 10 厘米的小正方形，折起四边，
可以做成一个无盖的盒子，如果这个盒子的容积是1500 立方厘米，设铁皮的宽为x厘米，则正确的方程是
（　　）
A．（2x 20﹣）（x 20﹣）=1500 B．10（2x 10﹣）（x 10﹣）=1500
C．10（2x 20﹣）（x 20﹣）=1500 D．10（x 10﹣）（x 20﹣）=1500
【答案】C
【分析】
如果设铁皮的宽为x厘米，那么铁皮的长为 2x 厘米，根据“这个盒子的容积是1500 立方厘米”，可列出
方程．
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