[29883028]专题4.13 探索三角形相似的条件（知识讲解）九年级-九年级数学上册基础知识专项讲练（北师大版）

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专题 4.13 探索三角形相似的条件（知识讲解）

【学习目标】

1、了解相似三角形的概念，掌握相似三角形的表示方法及判定方法；

2、进一步探索相似三角形的判定及其应用，提高运用“类比”思想的自觉性，提高推理

能力.

【要点梳理】

要点一：相似三角形有有关概念

在和中，如果

我们就说与相似，记作

∽ .k 就是它们的相似比，“∽”读作“相似于”.

特别说明：

(1)书写两个三角形相似时，要注意对应点的位置要一致，即 ∽ ，则说

明点 A的对应点是 A′，点 B 的对应点是 B′，点 C 的对应点是 C′；

(2)对于相似比，要注意顺序和对应的问题，如果两个三角形相似，那么第一个三角形的

一边和第二个三角形的对应边的比叫做第一个三角形和第二个三角形的相似比.当相似比

为 1 时，两个三角形全等.

要点二：相似三角形的判定

1．判定方法（1）平行于三角形一边的直线和其他两边相交，所构成的三角形和原三角

形相似.

2．判定方法（2）：如果两个三角形的三组对应边的比相等，那么这两个三角形相似.　

3．判定方法（3）：如果两个三角形的两组对应边的比相等，并且相应的夹角相等，那

么这两个三角形相似.

特别说明：

　　此方法要求用三角形的两边及其夹角来判定两个三角形相似，应用时必须注意这个

角必需是两边的夹角，否则，判断的结果可能是错误的.

4．判定方法（4）：如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等，那么这

两个三角形相似.

特别说明：

　　要判定两个三角形是否相似，只需找到这两个三角形的两个对应角相等即可，对于直

角三角形而言，若有一个锐角对应相等，那么这两个三角形相似.

【典型例题】

类型一、选择或补充条件说明两个三角形相似

1．如图，△ABC 与△ADE 中，∠C＝∠E，∠1＝∠2；

（1）证明：△ABC ADE∽△ ．

（2）请你再添加一个条件，使△ABC ADE≌△ ．你补充的条件为：　　．

【分析】(1)由∠1= 2,∠证出∠BAC= DAE.∠再由∠C= E,∠即可得出结论;

(2)由AAS证明△ABC ADE≌△ 即可.

证明：(1) 1= 2∵∠ ∠ ，

∴∠1+ DAC= 2+ DAC∠ ∠ ∠ ，

∴∠BAC= DAE∠．½½½½½½½½½½½½½½½

∵∠C= E∠，

∴△ABC ADE∽△ ．½½

(2)补充的条件为：AB=AD（答案不唯一）；理由如下：

由(1)得：∠BAC= DAE∠，

在△ABC 和△ADE中，，

∴△ABC ADE≌△ ；

故答案为AB=AD（答案不唯一）．

【点拨】本题主要考查全等三角形的判定及相似三角形的判定.

【变式 1】如图，已知等边三角形 ABC，点 M为BC 边的中点，连接AM，请利用直尺

和圆规在边 AB 上找一点 P，使得△MPB∽△AMC．（保留作图痕迹，不写做法）

【分析】根据相似三角形的判定即可画图．

解答：如图所示：作 MP⊥AB 于点 P，

则点P即为所求作的点．

∵ABC 等边三角形

∴△MPB∽△AMC．

【点拨】本题主要结合相似三角形的判定方法考查尺规作图，掌握相似三角形的判定

方法是解题的关键.

【变式 2】如图，，在线段上求作一点，使 .

(不写作法，保留作图痕迹)

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