[29883025]专题4.10 相似多边形（知识讲解）上册基-九年级数学上册基础知识专项讲练（北师大版）

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专题 4.10 相似多边形（知识讲解）
【学习目标】
1.理解并掌握相似多边形的定义，明确相似多边形的两个条件；
2.理解并掌握相似多边形的性质，相似比的意义；
3.运用相似多边形的两个条件证明多边形相似；
4.运用相似多边形的性质求线段长。
【要点梳理】
要点一：相似多边形的概念：
如果两个边数相同的多边形的对应角相等，对应边成比例，这两个或多个多边形叫做相
似多边形，相似多边形对应边的比叫做相似比。
要点二：相似多边形的性质：
性质1:相似多边形周长比等于相似比。
性质2:相似多边形对应对角线的比等于相似比。
性质3:相似多边形中的对应三角形相似，其相似比
等于相似多边形的相似比。
性质4:相似多边形面积的比等于相似比的平方。
性质 5:若相似比为 1，则全等。
性质 6:相似三角形的对应线段(边、高、中线、角平分线)成比例。
性质7:相似三角形的对应角相等，对应边成比例。
【典型例题】
类型一、相似图形
1．阅读理解：给定一个矩形，如果存在另一个矩形，它的周长和面积分别是已
知矩形的周长和面积的一半，则这个矩形是给定矩形的“减半”矩形．如图，矩形
A1B1C1D1
是矩形 的“减半”矩形．
请你解决下列问题：
（1）当矩形的长和宽分别为 ， 时，它是否存在“减半”矩形？请作出判断，并说
明理由．
（2）边长为 的正方形存在“减半”正方形吗？如果存在，求出“减半”正方形的边
长；如果不存在，请说明理由．
【答案】（1）存在；理由见解析；（2）不存在，理由见解析．
【分析】（1）假设存在，不妨设“减半”矩形的长和宽分别为 x、y，根据如果存在
另一个矩形，它的周长和面积分别是已知矩形的周长和面积的一半，可列出方程组求解．
（2）正方形和其他的正方形是相似图形，周长比是 2，面积比就应该是4，所以不存
在“减半”正方形．
解：（1）存在
假设存在，不妨设“减半”矩形的长和宽分别为 ， ，则 ，
由①，得： ，③
把③代入②，得 ，
解得 ， ．
所以“减半”矩形长和宽分别为 与 ．
（2）不存在
因为两个正方形是相似图形，当它们的周长比为 时，面积比必定是 ，
所以正方形不存在“减半”正方形．
【点拨】本题考查反证法和相似图形的性质，关键知道相似图形的面积比，周长比的
关系．
【变式 1】下列每组图形状是否相同？若相同，它们的对应角有怎样的关系？对应边
呢？
（1）正三角形ABC 与正三角形 DEF；
（2）正方形ABCD 与正方形 EFGH．
【答案】（1）形状相同．它们的对应角相等，都是 60°．对应边的比相等；（2）形
状相同．它们的对应角相等，都是 90°．对应边的比相等．
【分析】（1）两个正三角形的形状相同，对应角相等，对应边的比相等．
（2）两个正方形的形状相同，对应的角相等，对应边的比相等．
解：（1）正△ABC与正△DEF 的形状相同．它们的对应角相等，都是 60°．根据正三
角形的边长相等可以得到对应边的比相等．
（2）正方形 ABCD与正方形 EFGH 的形状相同．它们的对应角相等，都是 90°．根据
正方形的边长相等可以得到对应边的比相等．
【点拨】本题考查相似图形，相似图形是指形状相同的图形，判断两个正多边形的形
状是否相同，就看它们的对应角是否相等，对应边的比是否相等．
【变式 2】方格图中的每个小方格都是边长为 1小正方形，我们把小正方形的顶点称
为格点，格点连线为边的四边形称为“格点四边形”，图 1中的四边形 ABCD 就是一个格
点四边形.
（1）小彬在图 2的方格图中画了一个格点四边形 EFGH.借助方格图回答：四边形
ABCD 与四边形 EFGH 相似吗？若相似，直接写出四边形 ABCD 与四边形 EFGH 的相似
比；若不相似说明理由；
（2）请在图 3的方格图中画一个格点四边形，使它与四边形 ABCD相似，但与四边形
ABCD、四边形 EFGH 都不全等.
【答案】（1）相似，相似比为 ；（2）如图，四边形 MNPQ 即为所求，见解析.
【分析】（1）分别求出四边形各边的长度，求出对应边的相似比，即可得到答案；
（2）先确定相似比，然后求出个对应边的长度，即可画出图形.
解：（1）相似；
根据题意，四边形 ABCD 中， ，BC=1，CD=2，AD= ；四边形 EFGH 中，
，FG=2，GH=4，EH= ；
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