[29871528]专题4.4 黄金分割（知识讲解）上册基础知-九年级数学上册基础知识专项讲练（北师大版）

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专题 4.4 黄金分割（知识讲解）
【学习目标】
1、理解黄金分割的概念；
2、会找一条线段的黄金分割点；
3、会判断一个点是否为一条线段的黄金分割点。
【要点梳理】
要点一：
黄金分割的定义： 点 C 把线段 AB 分割成 AC 和 CB 两段,如果 ,那么线段 AB
被点 C 黄金分割，点 C 叫做线段 AB 的黄金分割点，AC 与 AB 的比叫做黄金比.
特别说明：
≈0.618AB(
5 1
2
叫做黄金分割值).
要点二：
作一条线段的黄金分割点：
如图，已知线段
AB
，按照如下方法作图：
（1）经过点
B
作
BD
⊥
AB
，使
BD
=
1
2
AB
.
（2）连接
AD
，在
DA
上截取
DE
=
DB
.
（3）在
AB
上截取
AC
=
AE
.则点
C
为线段
AB
的黄金分割点.
特别说明：
一条线段的黄金分割点有两个.
【典型例题】
类型一、黄金分割的作法
1．作出线段 的黄金分割点（不写作法，保留作图痕迹）
【分析】
作法：（1）延长线段 至 ，使 ，分别以 、 为圆心，以大于等于线段
的长为半径作弧，两弧相交于点 ，连接 ，则 ，在 上取点 ，使
；（2）连接 ，在 上截取 ．（3）在 上截取 ．点
就是线段 的黄金分割点．
解：如图，点 即为所求．
【点拨】本题主要是考查了黄金分割点的概念，熟记黄金分割分成的两条线段和原
线段之间的关系，能够熟练求解和作图．
【变式】如图，设线段 AC＝1.
（1）过点 C画CD AC⊥，使 CD AC；连接 AD，以点 D为圆心，DC 的长为半径
画弧，交 AD 于点 E；以点 A为圆心，AE 的长为半径画弧，交 AC 于点 B．
（2）在所画图中，点 B是线段 AC 的黄金分割点吗？为什么？
【答案】（1）作图见解析；（2）是，理由见解析
【分析】
（1）根据几何语言画出对应的几何图形；
（2）设 AC＝1，则 DE＝DC ，利用勾股定理得到 AD ，所以 AE ，
则AB ，然后利用黄金分割的定义可判断点 B是线段 AC 的黄金分割点．
解：（1）如图，点 B为所作；
（2）点 B是线段 AC 的黄金分割点．
理由如下：设 AC＝1，则 CD ，
∴DE＝DC ，
∵AD= ，
∴AE＝AD DE﹣，
∴AB ， BC ，
即 ，
∴点 B是线段 AC 的黄金分割点．
【点拨】本题考查了黄金分割：把线段 AB 分成两条线段 AC 和BC（AC＞BC），且
使AC 是AB 和BC 的比例中项（即 AB：AC＝AC：BC），叫做把线段 AB 黄金分割，点
C叫做线段 AB 的黄金分割点．求出线段长是解决问题的关键
【变式 2】如图，以矩形 ABCD 的宽为边作正方形 AEFD，若矩形 EBCF 的宽与长的
比值等于矩形 ABCD 的宽与长的比值，则将矩形 ABCD 称为“黄金矩形”．若 AD＝2，
求BE 的长．
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