[29866362]专题3.1 《概率的进一步认识》全章复习与巩固（知识讲解）-九年级数学上册基础知识专项讲练（北师大版）

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专题 3.1 《概率的进一步认识》全章复习与巩固（知识讲解）

【学习目标】

1.进一步认识频率与概率的关系，加深对概率的理解；

2.会用列表和画树状图等方法计算简单事件发生的概率；

3.能利用重复试验的频率估计随机事件的概率；

4.学会运用概率知识解决简单的实际问题.

【要点梳理】

要点一、用树状图或表格求概率

1.树状图

当一次试验要涉及 3 个或更多个因素时，为了不重不漏地列出所有可能的结果，通常

采用树形图，也称树形图、树图.

树形图是用树状图形的形式反映事件发生的各种情况出现的次数和方式，以及某一事

件发生的可能的次数和方式，并求出概率的方法.

特别说明：

(1)树形图法适用于各种情况出现的总次数不是很大时，求概率的问题；

(2)在用树形图法求可能事件的概率时，应注意各种情况出现的可能性务必相同.

2.列表法

当一次试验要涉及两个因素，并且可能出现的结果数目较多时，为不重不漏地列出所

有可能的结果，通常采用列表法.

列表法是用表格的形式反映事件发生的各种情况出现的次数和方式，以及某一事件发

生的可能的次数和方式，并求出概率的方法.

特别说明：

（1）列表法适用于各种情况出现的总次数不是很大时，求概率的问题；

（2）列表法适用于涉及两步试验的随机事件发生的概率.

3.用列举法求概率的一般步骤

（1）列举（列表、画树状图）事件所有可能出现的结果，并判断每个结果发生的可能

性是否都相等；

（2）如果都相等，再确定所有可能出现的结果的个数 n 和其中出现所求事件 A 的结果

个数 m；

（3）用公式计算所求事件 A 的概率.即 P（A）=

要点二、用频率估计概率

1.频率与概率的定义

频率：在相同条件下重复 n 次试验，事件 A 发生的次数 m 与试验总次数 n 的比值.

概率：事件 A 的频率

接近与某个常数，这时就把这个常数叫做事件 A 的概率，记作

P（A）.

2.频率与概率的关系

事件的概率是一个确定的常数，而频率是不确定的，当试验次数较少时，频率的大小摇

摆不定，当试验次数增大时，频率的大小波动变小，并逐渐稳定在概率附近 .可见，概率是

频率的稳定值，而频率是概率的近似值.

特别说明：

（1）频率本身是随机的，在试验前不能确定，无法从根本上来刻画事件发生的可能性

的大小，在大量重复试验的条件下可以近似地作为这个事件的概率；

（2）频率和概率在试验中可以非常接近，但不一定相等；

（3）概率是事件在大量重复试验中频率逐渐稳定到的值，即可以用大量重复试验中事

件发生的频率去估计得到事件发生的概率，但二者不能简单地等同，两者存在一定的偏差是

正常的，也是经常的.

3.利用频率估计概率

当试验的可能结果不是有限个，或各种结果发生的可能性不相等时，一般用统计频率

的方法来估计概率.

特别说明：

用试验去估计随机事件发生的概率应尽可能多地增加试验次数，当试验次数很大时，

结果将较为精确.

【典型例题】

类型一、根据概率公式计算概率

1．2022 年冬奥会将在中国北京举行，小明和小刚都计划去观看冬奥项目比赛．他

们都喜欢的冬奥项目分别是：A．“短道速滑”、B．“冰球”、C．“花样滑冰”和 D．

“跳台滑雪”．小明和小刚计划各自在这 4个冬奥项目中任意选择一个观看，每个项目被选

择的可能性相同．

（1）小明选择项目 C．“花样滑冰”的概率是多少？

（2）用画树状图或列表的方法，求小明和小刚恰好选择同一项目观看的概率．

【答案】（1）；（2）

【分析】

（1）根据概率的概念直接求解即可；

（2）同过画树状图的方法，列出所有可能，继而得出概率．

解：（1）∵在这四个项目任选一项，每项被选中的可能性相同，

∴在四个项目中，李欣选择项目 C．“花样滑冰”的概率是；

（2）画树状图分析如下：

共有16 种等可能的结果，小明和小刚恰好选择同一项目观看的结果有 4种，

∴小明和小刚恰好选择同一项目观看的概率为．

【点拨】本题考查了用列表法或画树状图法求概率；列表法或画树状图法可以不重复不

遗漏的列出所有可能的结果数，概率=所求情况数与总情况数之比．掌握概率的概念和求概

率的方法是解题的关键．

【变式 1】一个不透明的口袋中有四个完全相同的小球，把它们分别标号为1，2，3，4

（1）随机摸取一个小球的标号是奇数，该事件的概率为___________；

（2）随机摸取一个小球后放回，再随机摸取一个小球．求两次取出小球标号的和等于 5

的概率．

【答案】（1）；（2）．

【分析】

（1）直接利用概率公式求解即可求得答案；

（2）首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果与两次取出的小

球和是 5的情况，再利用概率公式求解即可求得答案；

解：（1）∵一个不透明的口袋中有四个完全相同的小球，它们分别标号为

1，2，3，4，

∴随机摸取一个小球，“摸出的小球标号是奇数”的概率为：；

故答案为：．

（2）画树状图得：

∴共有16 种等可能的结果，两次取出小球标号的和等于 5的情况有 4种；

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