[29396464]专题1.7 正方形的性质与判定（知识讲解1）-九年级数学上册基础知识专项讲练（北师大版）

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专题 1.7 正方形的性质与判定（知识讲解 1）

【学习目标】

1．理解正方形的概念，了解平行四边形、矩形及菱形与正方形的概念之间的从属关系；

2．掌握正方形的性质及判定方法．

【要点梳理】

要点一、正方形的定义

四条边都相等，四个角都是直角的四边形叫做正方形.

特别说明：既是矩形又是菱形的四边形是正方形，它是特殊的菱形，又是特殊的矩形，

更为特殊的平行四边形，正方形是有一组邻边相等的矩形，还是有一个角是直角的菱形.

要点二、正方形的性质

正方形具有四边形、平行四边形、矩形、菱形的一切性质.

1.边——四边相等、邻边垂直、对边平行；

2.角——四个角都是直角；

3.对角线——①相等，②互相垂直平分，③每条对角线平分一组对角；

4.是轴对称图形，有 4 条对称轴；又是中心对称图形，两条对角线的交点是对称中心.

特别说明：正方形具有平行四边形、矩形、菱形的一切性质，其对角线将正方形分为

四个等腰直角三角形.

要点三、正方形的判定

正方形的判定除定义外，判定思路有两条：或先证四边形是菱形，再证明它有一个角

是直角或对角线相等（即矩形）；或先证四边形是矩形，再证明它有一组邻边相等或对角

线互相垂直（即菱形）.

要点四、特殊平行四边形之间的关系

或者可表示为：

要点五、顺次连接特殊的平行四边形各边中点得到的四边形的形状

（1）顺次连接平行四边形各边中点得到的四边形是平行四边形.

（2）顺次连接矩形各边中点得到的四边形是菱形.

（3）顺次连接菱形各边中点得到的四边形是矩形.

（4）顺次连接正方形各边中点得到的四边形是正方形.

特别说明：新四边形由原四边形各边中点顺次连接而成.

（1）若原四边形的对角线互相垂直，则新四边形是矩形.

（2）若原四边形的对角线相等，则新四边形是菱形.

（3）若原四边形的对角线垂直且相等，则新四边形是正方形.

【典型例题】

类型一、正方形性质的理解

1．如图，在正方形 ABCD 中，E、F分别是边 AB、BC 的中点，连接 AF、DE

相交于点 G，求证：AF DE⊥．

【分析】由正方形 ABCD 中，AB=BC，证明 BF=AE，结合∠ABF= DAE=90°∠，即可

证明△ABF≌，即可得∠DGA=90°，结论成立．

证明：∵四边形 ABCD 为正方形

∴AB=BC=CD=AD，∠ABF= DAE=90°∠，

又∵E，F分别是边 AB．BC 的中点

∴AE＝AB．BF＝BC

∴AE=BF．

在△ABF 与△DAE 中，

，

（SAS）．

∴∠ADE= BAF∠，

∵∠BAF+ DAG=90°∠，

∴∠ADG+ DAG=90°∠，

∴∠DGA=90°，

即AF DE⊥．

【点拨】本题考查了正方形的性质，考查了全等三角形的判定和全等三角形对应角、

对应边相等的性质，本题中求证是解题的关键．

【变式 1】四边形 ABCD 为正方形，点 E为线段 AC 上一点，连接 DE，过点 E作

EF DE⊥，交射线 BC 于点 F，以 DE、EF 为邻边作矩形 DEFG，连接 CG．

（1）如图，求证：矩形 DEFG 是正方形；

（2）当线段 DE 与正方形 ABCD 的某条边的夹角是 35°时，求∠EFC 的度数．

【答案】（1）证明见解析；（2）∠EFC＝35°或125°．

【分析】（1）作 EP CD⊥于P，EQ BC⊥于Q，证明 Rt EQF Rt≌EPD，得到

EF=ED，根据正方形的判定定理证明即可；

（2）分两种情况讨论即可，①当 DE 与AD 的夹角为 35°时，②当 DE 与DC 的夹角为

35°时，从而可得答案．

（1）证明：如图，作 EP CD⊥于P，EQ BC⊥于Q，

四边形 ABCD 为正方形，

∵∠DCA＝∠BCA＝45°，

∴EQ＝EP，

矩形 DEFG，

∠PED+ PEF∠＝90°，

∵∠QEF+ PEF∠＝90°，

∴∠QEF＝∠PED，

在Rt EQF△和Rt EPD△中，

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