[29396463]专题1.8 正方形的性质与判定（知识讲解2）-九年级数学上册基础知识专项讲练（北师大版）

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专题 1.8 正方形的性质与判定（知识讲解 2）

【学习目标】

1．理解正方形的概念，了解平行四边形、矩形及菱形与正方形的概念之间的从属关系；

2．掌握正方形的性质及判定方法．

【要点梳理】

要点一、正方形的定义

四条边都相等，四个角都是直角的四边形叫做正方形.

特别说明：既是矩形又是菱形的四边形是正方形，它是特殊的菱形，又是特殊的矩形，

更为特殊的平行四边形，正方形是有一组邻边相等的矩形，还是有一个角是直角的菱形.

要点二、正方形的性质

正方形具有四边形、平行四边形、矩形、菱形的一切性质.

1.边——四边相等、邻边垂直、对边平行；

2.角——四个角都是直角；

3.对角线——①相等，②互相垂直平分，③每条对角线平分一组对角；

4.是轴对称图形，有 4 条对称轴；又是中心对称图形，两条对角线的交点是对称中心.

特别说明：正方形具有平行四边形、矩形、菱形的一切性质，其对角线将正方形分为

四个等腰直角三角形.

要点三、正方形的判定

正方形的判定除定义外，判定思路有两条：或先证四边形是菱形，再证明它有一个角

是直角或对角线相等（即矩形）；或先证四边形是矩形，再证明它有一组邻边相等或对角

线互相垂直（即菱形）.

要点四、特殊平行四边形之间的关系

或者可表示为：

要点五、顺次连接特殊的平行四边形各边中点得到的四边形的形状

（1）顺次连接平行四边形各边中点得到的四边形是平行四边形.

（2）顺次连接矩形各边中点得到的四边形是菱形.

（3）顺次连接菱形各边中点得到的四边形是矩形.

（4）顺次连接正方形各边中点得到的四边形是正方形.

特别说明：新四边形由原四边形各边中点顺次连接而成.

（1）若原四边形的对角线互相垂直，则新四边形是矩形.

（2）若原四边形的对角线相等，则新四边形是菱形.

（3）若原四边形的对角线垂直且相等，则新四边形是正方形.

【典型例题】

类型十、求证四边形是正方形

10 已知平行四边形 ABCD，对角线 AC、BD 相交于点 O，且 CA=CB，延长 BC

至点 E，使 CE=BC，连接 DE．

（1）当 AC⊥BD 时，求证：BE=2CD；

（2）当∠ACB=90°时，求证：四边形 ACED 是正方形．

【分析】

（1）根据已知条件得到四边形 ABCD 是菱形．求得 BC=CD．得到 BE=2BC，于是得

到结论；

（2）根据平行四边形的性质得到 AD=BC，AD∥BE，求得 AD=CE，AD∥CE，推出平

行四边形 ACED 是矩形，根据正方形的判定定理即可得到结论．

（1）证明：∵四边形 ABCD 是平行四边形，

又∵AC⊥BD，

∴四边形 ABCD 是菱形．

∴BC=CD．

又∵CE=BC，

∴BE=2BC，

∴BE=2CD；

（2）证明：∵四边形 ABCD 是平行四边形，

∴AD=BC，AD∥BE，

又∵CE=BC，

∴AD=CE，AD∥CE，

∴四边形 ACED 是平行四边形．

∵∠ACB=90°，

∴平行四边形 ACED 是矩形，

又∵CA=CB，

∴CA=CE，

∴矩形 ACED 是正方形．

【点拨】本题考查了正方形的判定，平行四边形的性质，菱形的判定和性质，熟练掌

握各定理是解题的关键．

【变式 1】如图，将绕着点顺时针旋转得到，射线与

相交于点，，求证：四边形为正方形．

【分析】由题意易得∠D= ABC= BAD=90°∠ ∠ ，则有四边形 ABCD 是矩形，然后由

AB=AD 可求证．

证明：∵将绕着点顺时针旋转得到，

∴ ，

∴∠EAB= FAD∠，AB=AD，

∵∠D=90°，

∴∠ABE=90°，

∴∠ABC=90°，

∵∠EAB+ BAF=90°∠，

∴∠DAF+ BAF=90°∠，即∠BAD=90°，

∴四边形 ABCD 是矩形，

∵AB=AD，

∴矩形 ABCD 是正方形．

【点拨】本题主要考查正方形的判定，熟练掌握正方形的判定方法是解题的关键．

【变式 2】证明：如果四边形两条对角线互相垂直且相等，那么它四边中点的连线可

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