[29379016]专题1.3 矩形的性质与判定（知识讲解1）-九年级数学上册基础知识专项讲练（北师大版）

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专题 1.3 矩形的性质与判定（知识讲解 1）

【学习目标】

1. 理解矩形的概念.

2. 掌握矩形的性质定理与判定定理.

【要点梳理】

要点一、矩形的定义

有一个角是直角的平行四边形叫做矩形.

特别说明：：矩形定义的两个要素：①是平行四边形；②有一个角是直角 .即矩形首

先是一个平行四边形，然后增加一个角是直角这个特殊条件.

要点二、矩形的性质

矩形的性质包括四个方面：

1.矩形具有平行四边形的所有性质；

2.矩形的对角线相等；

3.矩形的四个角都是直角；

4.矩形是轴对称图形，它有两条对称轴.

特别说明：（1）矩形是特殊的平行四边形，因而也是中心对称图形.过中心的任意直

线可将矩形分成完全全等的两部分.

（2）矩形也是轴对称图形，有两条对称轴（分别通过对边中点的直线）.对

称轴的交点就是对角线的交点（即对称中心）.

（3）矩形是特殊的平行四边形，矩形具有平行四边形的所有性质，从而矩

形的性质可以归结为从三个方面看：从边看，矩形对边平行且相等；

从角看，矩形四个角都是直角；从对角线看，矩形的对角线互相平分

且相等.

要点三、矩形的判定

矩形的判定有三种方法：

1.定义：有一个角是直角的平行四边形叫做矩形.

2.对角线相等的平行四边形是矩形.

3.有三个角是直角的四边形是矩形.

特别说明：在平行四边形的前提下，加上“一个角是直角”或“对角线相等”都能判

定平行四边形是矩形.

要点四、直角三角形斜边上的中线的性质

直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半.

特别说明：（1）直角三角形斜边上的中线的性质是矩形性质的推论.性质的前提是直

角三角形，对一般三角形不可使用.

（2）学过的直角三角形主要性质有：①直角三角形两锐角互余；②直角三

角形两直角边的平方和等于斜边的平方；③直角三角形中 30°所对的

直角边等于斜边的一半.

（3）性质可以用来解决有关线段倍分的问题.

【典型例题】

类型一、矩形性质的理解

1．如图，四边形 ABCD 是矩形，对角线 AC 与BD 相交于点 O，∠AOD＝

60°，AD＝2，求 AC 的长度．

【答案】4

【分析】根据矩形的性质和等边三角形的性质，可以得到 OA 的长，从而可以求得 AC

的长．

解：∵四边形 ABCD 是矩形，

∴OA＝OC＝OB＝OD，

∵∠AOD＝60°，AD＝2，

∴△AOD 是等边三角形，

∴OA＝OD＝2，

∴AC＝2OA＝4，

即AC 的长度为 4．

【点拨】本题考查了矩形的性质，等边三角形的判定与性质，熟记性质并判断出

△AOB 是等边三角形是解题的关键．

【变式 1】平行四边形 ABCD 中，过点 D作DE AB⊥于点 E，点 F在CD 上，CF＝

AE，连接 BF，AF．

（1）求证：四边形 BFDE 是矩形；

（2）若 AF 平分∠BAD，且 AE＝3，BF＝4，求矩形 BFDE 的面积．

【答案】（1）见解析；（2）20．

【分析】

（1）先证明四边形为平行四边形，再利用可得结论；

（2）先证明再由勾股定理求解从而可得矩形的面积．

【详解】

解：（1）∵四边形 ABCD 是平行四边形，

∴AB＝CD，AB CD∥，

∴DF BE∥，

∵CF＝AE，

∴DF＝BE，

∴四边形 BFDE 是平行四边形，

∵DE AB⊥，

∴∠DEB＝90°，

∴四边形 BFDE 是矩形．

（2）∵AB CD∥，

∴∠BAF＝∠AFD，

∵AF 平分∠BAD，

∴∠DAF＝∠AFD，

∴AD＝DF，

在Rt 中，∵AE＝3，BF＝DE＝4，

∴AD＝5，

∴矩形的面积为： 20．

【点拨】本题考查的是平行四边形的性质与判定与矩形的性质与判定，勾股定理的应

用，掌握以上知识是解题的关键．

【变式 2】如图，把两个全等的矩形 ABCD 和矩形 CEFG 拼成如图所示的图案，求

∠ACF，∠AFC 的度数．

【答案】∠ACF＝90°，∠AFC＝45°

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