[29379013]专题1.4 矩形的性质与判定（知识讲解2）-九年级数学上册基础知识专项讲练（北师大版）

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专题 1.4 矩形的性质与判定（知识讲解 2）

【学习目标】

1. 理解矩形的概念.

2. 掌握矩形的性质定理与判定定理.

【要点梳理】

要点一、矩形的定义

有一个角是直角的平行四边形叫做矩形.

特别说明：：矩形定义的两个要素：①是平行四边形；②有一个角是直角 .即矩形首

先是一个平行四边形，然后增加一个角是直角这个特殊条件.

要点二、矩形的性质

矩形的性质包括四个方面：

1.矩形具有平行四边形的所有性质；

2.矩形的对角线相等；

3.矩形的四个角都是直角；

4.矩形是轴对称图形，它有两条对称轴.

特别说明：（1）矩形是特殊的平行四边形，因而也是中心对称图形.过中心的任意直

线可将矩形分成完全全等的两部分.

（2）矩形也是轴对称图形，有两条对称轴（分别通过对边中点的直线）.对

称轴的交点就是对角线的交点（即对称中心）.

（3）矩形是特殊的平行四边形，矩形具有平行四边形的所有性质，从而矩

形的性质可以归结为从三个方面看：从边看，矩形对边平行且相等；

从角看，矩形四个角都是直角；从对角线看，矩形的对角线互相平分

且相等.

要点三、矩形的判定

矩形的判定有三种方法：

1.定义：有一个角是直角的平行四边形叫做矩形.

2.对角线相等的平行四边形是矩形.

3.有三个角是直角的四边形是矩形.

特别说明：在平行四边形的前提下，加上“一个角是直角”或“对角线相等”都能判

定平行四边形是矩形.

要点四、直角三角形斜边上的中线的性质

直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半.

特别说明：（1）直角三角形斜边上的中线的性质是矩形性质的推论.性质的前提是直

角三角形，对一般三角形不可使用.

（2）学过的直角三角形主要性质有：①直角三角形两锐角互余；②直角三

角形两直角边的平方和等于斜边的平方；③直角三角形中 30°所对的

直角边等于斜边的一半.

（3）性质可以用来解决有关线段倍分的问题.

【典型例题】

类型九、矩形性质与判定定理的理解

9．如图，在菱形 ABCD 中，点 O是对角线 AC 的中点，过点 O的直线 EF 与边

AD、BC 交于点 E、F，∠CAE＝∠FEA，连接 AF、CE．

（1）求证：四边形 AFCE 是矩形；

（2）若 AB＝5，AC＝2，直接写出四边形 AFCE 的面积．

【答案】（1）详见解析；（2）8．

【分析】

（1）先证明结合已知条件证明四边形是平行四边形，再证明

，从而可得结论；

（2）根据勾股定理得出，即

，求出 x，即得出 CF= ，根据勾股定理求出 AF，再求出矩

形AFCE 的面积即可．

（1）证明∵四边形 ABCD 是菱形，

∴AE//CF，

∴∠AEO＝∠CFO，

∵点 O是AC 的中点，

∴OA＝OC＝AC，

∵∠AOE＝∠COF，

∴ ．

∴OE＝OF＝EF，

∵OA＝OC，

∴四边形 AFCE 是平行四边形，

∵∠CAE＝∠FEA，

∴OA＝OE，

∴AC＝EF，

∴ 是矩形．

（2）解：四边形 AFCE 的面积为理由如下：

设CF=x，

∵四边形 ABCD 是菱形，AB=5，

∴BC=AB=5，

∴BF=5-x，

∵四边形 AFCE 是矩形，

∴∠AFC=90°= AFB∠，

在Rt 和Rt 中，

由勾股定理得：

即

解得：，即 CF= ，

则

∴四边形 AFCE 的面积是 AF×CF=2×4=8．

【点拨】本题考查了等腰三角形的性质，平行四边形的性质和判定，勾股定理，平行

线的性质，矩形的判定与性质等知识点，能综合运用知识点进行推理是解此题的关键．

【变式 1】如图，，且，是的中点.

（1）求证：四边形是平行四边形；

（2）连接、，写出添加一个什么条件时，四边形是矩形.并说

明理由.

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