[29313654]专题1.1 菱形的性质与判定（知识讲解）-九年级数学上册基础知识专项讲练（北师大版）

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专题 1.1 菱形的性质与判定（知识讲解）

【学习目标】

1. 理解菱形的概念.

2. 掌握菱形的性质定理与判定定理.

【要点梳理】

要点一、菱形的定义

有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形.

特别说明：：菱形的定义的两个要素：①是平行四边形.② 有一组邻边相等.即菱形是一个

平行四边形，然后增加一对邻边相等这个特殊条件.

要点二、菱形的性质

1.菱形的四条边都相等；

2.菱形的两条对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角.

3.菱形也是轴对称图形，有两条对称轴（对角线所在的直线），对称轴的交点就是对称中

心.

特别说明：：（1）菱形是特殊的平行四边形，是中心对称图形，过中心的任意直线可将菱

形分成完全全等的两部分.

（2）菱形的面积有两种计算方法：一种是平行四边形的面积公式：底×高；另

一种是两条对角线乘积的一半（即四个小直角三角形面积之和）.实际上，任何一个对角线

互相垂直的四边形的面积都是两条对角线乘积的一半.

（3）菱形可以用来证明线段相等，角相等，直线平行，垂直及有关计算问题.

要点三、菱形的判定

菱形的判定方法有三种：

1.定义：有一组邻边相等的平行四边形是菱形.

2.对角线互相垂直的平行四边形是菱形.

3.四条边相等的四边形是菱形.

特别说明：：前两种方法都是在平行四边形的基础上外加一个条件来判定菱形，后一种方

法是在四边形的基础上加上四条边相等.

【典型例题】

类型一、利用菱形的性质求角

1．如图，等腰三角形 ABC 中，AB=AC，AH 垂直 BC，点 E是AH 上一点，延

长AH 至点 F，使 FH=EH，

（1）求证：四边形 EBFC 是菱形；

（2）如果 =，求证：．

【分析】

（1）根据题意可证得△BCE 为等腰三角形，由 AH CB⊥，则 BH=HC，从而得出四边

形EBFC 是菱形；

（2）由（1）得∠2= 3∠，再根据∠BAC= ECF∠，得∠4= 3∠，由 AH CB⊥，得

∠3+ 1+ 2=90°∠ ∠ ，从而得出 AC CF⊥．

证明：（1）∵AB=AC，AH CB⊥，

∴BH=HC．

∵FH=EH，

∴四边形 EBFC 是平行四边形．

又∵AH CB⊥，

∴四边形 EBFC 是菱形．

（2）证明：如图，

∵四边形 EBFC 是菱形．

∴∠2＝∠3＝ ∠ECF．

∵AB=AC，AH CB⊥，

∴∠4＝ ∠BAC．

∵∠BAC= ECF∠，

∴∠4= 3∠．

∵AH CB⊥

∴∠4+ 1+ 2=90°∠ ∠ ．

∴∠3+ 1+ 2=90°∠ ∠ ．

即：AC CF⊥．

【点拨】本题考查了菱形的判定和性质，以及等腰三角形的性质，是基础知识要熟练

掌握．

【变式 1】如图,BD 是菱形 ABCD 的对角线, A∠＝30°．

(1)请用尺规作图法,作AB 的垂直平分线 EF,垂足为 E,交AD 于F;(不要求写作法,保留

作图痕迹)

(2)在(1)的条件下,连接 BF,求∠DBF 的度数．

【分析】

（1）分别以 A、B为圆心，大于长度为半径画弧，交于线段 AB 两侧，连接两

个交点的直线即为所求；

（2）根据菱形的性质可以求出∠ABD 的度数，再根据 FA=FB 可得出∠A＝∠FBA＝

30°，再用∠ABD ，即可得出∠DBF 的度数.

解：（1）如图所示,直线 EF 即为所求;

（2）∵四边形 ABCD 是菱形,

∴∠ABD＝∠DBC, DA CB, ∥

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