（挑战压轴）专项3.10 利用垂径定理求线段长度（解析版）-2022-2023学年九年级数学上册《同步考点解读•专题训练》（浙教版）

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（挑战压轴）专项 3.10 利用垂径定理求线段长度
【方法技巧】
考点 1 垂径定理
垂径定理：垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的弧.
符号语言：∵CD 为⊙O的直径，AB 为⊙O的弦，且 CD AB⊥，垂足为 E，
∴ AE＝BE,
推论：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧.
∵CD 为⊙O的直径，AB 为⊙O的弦（不是直径），且 AE＝BE.
弦心距：圆心到弦的距离（垂线段 OE）
常见辅助线做法（考点）：1）过圆心，作垂线，连半径，造
R t △
，用勾股，求长度；
2）有弧中点，连中点和圆心，得垂直平分
考点 2 垂径定理的应用
经常为未知数，结合方程于勾股定理解答
1.（2021 九上·温州期末）如图，在⊙O中，半径 OC AB⊥于点 D.已知 OC=5，OD=4，
则弦 AB 的长为(　　)
A．3 B．4 C．5 D．6
【答案】D
【解答】解：∵OC AB ⊥，
∴AD=DB，
∵OC=OB=5，OD=4
∴在 Rt ODB△中，由勾股定理得：BD=
❑
√
O B2− O D2=❑
√
52−42=3
∴AB=2BD=2×3=6.
故答案为：D.
2.（2021 九上·平谷期末）如图，AB 为⊙O 的直径，弦 CDAB，垂足为点 E，若 ⊙O
的半径为 5，CD=8，则 AE 的长为（　　）
A．3 B．2 C．1 D．
❑
√
3
【答案】B
【解答】解：连接 OC，如图
∵AB 为⊙O 的直径，CDAB，垂足为点 E，CD=8，
∴
CE=1
2
CD=1
2
×8=4
，
∵
AO=CO=5
，
∴
OE=❑
√
C O2− C E2=❑
√
52−42=3
，
∴
；
故答案为：B．
3.（2021 九上·上高月考）《九章算术》中记载有一问题“今有圆材埋在壁中，不知大
小，以锯锯之，深一寸，锯道长一尺，问径几何？”小辉同学根据原文题意，画出圆
材截面图如图所示，已知：锯口深 1寸，锯道
AB=1
尺（1尺=10 寸），则该圆材的直
径为　 　寸.
【答案】26
【解答】如图，设
⊙O
的半径为
r
，过 O作OD AB⊥于D，延长 OD 与
⊙O
交于 E，连
接AO，
在Rt AOD△中，
AD=1
2
AB =5
寸，
OD=OE − DE=r −1
，
OA=r
，
由勾股定理可得
A D2+O D2=A O2
，即
52+(r − 1)2=r2
，
解得
r=13
，
∴该圆材的直径为 26 寸，
故答案为 26
4.（2021 九上·杭锦后旗月考）如图，M是CD 的中点，EM CD⊥，CD=4，EM=6，则
´
CED
所在圆的半径是　 　．
【答案】
10
3
【解答】解：如图，连接 OC，
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