专题08 黄金分割典型题-2021-2022学年九年级数学下册高频考点提分精练（苏科版）（解析版）

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专题 08 黄金分割典型题
一．黄金分割点的理解（共 3小题）
1．已知点 P是线段 AB 的黄金分割点，且 AP＞BP，如果 BP
¿❑
√
5−¿
1，那么 AP＝　 2 　 ．
试题分析:设AB＝m，根据黄金分割点的定义，知 AP 是较长线段；则 AP
¿❑
√
5−1
2
AB，构建方程
求出 m即可．
答案详解:解：设 AB＝m．
由于 P为线段 AB 的黄金分割点，
且AP 是较长线段；
则AP
¿❑
√
5−1
2
AB
¿❑
√
5−1
2
m，
∴m
−❑
√
5−1
2
m
¿❑
√
5−¿
1，
解得 m
¿❑
√
5+¿
1，
∴AP
（
❑
√
5+¿
1）＝2，
所以答案为：2．
2．点 C为线段 AB 的黄金分割点（AC＜BC），分别以线段 AC 和BC 为边作等边三角形，那么这两
个等边三角形的周长比为 　
❑
√
5−1
2
　．
试题分析:由黄金分割点的定义得
AC
BC =BC
AB =❑
√
5−1
2
，再由等边三角形的性质求解即可．
答案详解:解：∵点 C为线段 AB 的黄金分割点（AC＜BC），
∴
AC
BC =BC
AB =❑
√
5−1
2
，
∵以线段 AC 和BC 为边的两个等边三角形的周长分别为：3AC、3BC，
∴这两个等边三角形的周长比为：3AC：3BC＝AC：BC
¿❑
√
5−1
2
，
所以答案为：
❑
√
5−1
2
．
3．电视节目主持人在主持节目时，站在舞台的黄金分割点处最自然得体．如图，若舞台 AB 长为
20 米，主持人现站在 A处，请问主持人应走到离 A点至少多少米处才最自然得体？（结果精确
到0.1 米）　 7.6
米　 ．
试题分析:要求至少走多少米，根据黄金比，只需保证走到 AB 的1 0.618﹣＝0.382 倍处即可，因
为此点为线段 AB 的一个黄金分割点．
答案详解:解：根据黄金比得：20×（1 0.618﹣）≈7.6 米，
∵黄金分割点有 2个，
∴20 7.6﹣＝12.4，
由于 7.6＜12.4 米
∴主持人应走到离 A点至少 7.6 米处才最自然得体．
所以答案为：7.6 米．
二．黄金三角形（共 4小题）
4．△ABC 中，BC＝BA，∠B＝36°，AD 平分∠BAC，则 BD：BC＝　
❑
√
5−1
2
　．
试题分析:证BD＝AD＝AC，再证△ADC∽△BAC，得
AD
BA =CD
AC
，然后证 D是BC 的黄金分割点，
BD＞CD，即可求解．
答案详解:解：∵BA＝BC，∠B＝36°，
∴∠BAC＝∠BCA＝72°，
∵AD 平分∠BAC，
∴∠DAC＝∠BAD＝36°，
∴∠B＝∠BAD，
∴BD＝AD，∠ADC＝72°，
∴∠ADC＝∠C＝72°，
∴AC＝AD，
∴BD＝AD＝AC，
∵∠DAC＝∠B，∠C＝∠C，
∴△ADC∽△BAC，
∴
AD
BA =CD
AC
，
∴
BD
BC =CD
BD
，
∴D是BC 的黄金分割点，BD＞CD，
∴
BD
BC =❑
√
5−1
2
，
所以答案为：
❑
√
5−1
2
．
5．我们把顶角为 36°的等腰三角形称之为黄金三角形．如图 1，△ABC 中，AB＝AC，∠A＝36°，
则△ABC 是黄金三角形，请你观察图 2、图 3中的圆内接正五边形 ABCDE．
（1）直接回答：图 2中共有　 20 　 个黄金三角形；
（2）图 3中，若点 M在弧 CD 上，且 DM 是圆 O的内接正六边形的一边，问 CM 是否是圆 O的
内接正 n边形的一边？如果是，求出 n的值；如果不是，请说明理由．
试题分析:（1）易证
^
AB=
^
BC=
^
CD =
^
DE=
^
EA
，则每条弧所对的圆周角都是 36°，对△ACD 来
说 ， ∠ CAD ＝36° ，AC ＝AD ， 得 出 △ ACD 是 黄 金 三 角 形 ， 由
^
BC=
^
DE
， 得 BE∥CD ， 则
△AFJ∽△ACD ， 得 出 △ AFJ 是 黄 金 三 角 形 ， 同 理 可 得
△BGF、△ BDE、△CHG、△CEA、△DIH、△DAB、△EJI、△EBC 都是黄金三角形，对
△ABG 来说，∠BAG＝36°，易证∠ABG＝∠AGB，则 AB＝AG，得出△ABG 是黄金三角形，同
理可得△AIE、△BCH、△BAJ、△CBF、△CDI、△DCG、△DEJ、△EHD、△EAF 都是黄金三
角形，即可得出结果；
（2）连 OC、OM、OD，∠COD
¿360°
5=¿
72°，∠MOD
¿360°
6=¿
60°，得出∠COM＝∠COD
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