专题08 函数的应用（一）（含解析）-2021-2022学年高一数学重难点手册（函数的概念与性质篇，人教A版2019必修第一册）

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专题 08 函数的应用（一）

题型一　一次函数模型

【学透用活】

形如 y＝kx＋b(k≠0)的函数模型是一次函数模型．应用一次函数的性质及图象解题时，应注意：

(1)一次函数有单调递增(一次项系数为正)和单调递减(一次项系数为负)两种情况；

(2)一次函数的图象是一条直线．

【例 1】某工厂生产某种产品，每件产品的出厂价为 50 元，其成本为 25 元，因为在生产过程中，平均每生产一件产品有 0.5

立方米污水排出，为了净化环境，所以工厂设计两个方案进行污水处理，并准备实施．

方案 1：工厂污水先净化后再排出，每处理 1立方米污水所耗原料费 2元，并且每月排污设备损耗费为 30 000 元；

方案 2：工厂污水排到污水处理厂统一处理，每处理 1立方米污水需付 14 元排污费．

(1)若工厂每月生产 3 000 件产品，你作为厂长在不污染环境，又节约资金的前提下，应选择哪个处理污水

的方案，请通过计算加以说明；

(2)若工厂每月生产 6 000 件时，你作为厂长又该如何决策呢？

【解析】设工厂生产 x件产品时，依方案 1的利润为 y1，依方案 2的利润为 y2，则 y1＝(50－25)x－2×0.5x

－30 000＝24x－30 000，

y2＝(50－25)x－14×0.5x＝18x.

(1)当x＝3 000 时，y1＝42 000，y2＝54 000.

因为 y1< y2，故应选择第 2个方案处理污水．

(2)当x＝6 000 时，y1＝114 000 元，y2＝108 000 元．

因为 y1> y2，故应选择第 1个方案处理污水．

【方法技巧】

建立一次函数模型，常设为 y＝kx＋b(k≠0)，然后用待定系数法求出 k，b的值，再根据单调性求最值，

或利用方程、不等式思想解题．　　

【变式训练】

车管站在某个星期日保管的自行车和电动车共有 3 500 辆次，其中电动车保管费是每辆一次 0.5 元，自行车

保管费是每辆一次 0.3 元．

(1)若设自行车停放的辆次为 x，总的保管费收入为 y元，试写出 y关于 x的函数关系式；

(2)若估计前来停放的 3 500 辆次自行车和电动车中，电动车的辆次数不小于 25%，但不大于 40%，试求该

车管站这个星期日收入保管费总数的范围．

【解析】(1)由题意得 y＝0.3x＋0.5(3 500－x)＝－0.2x＋1 750(x∈N*且0≤x≤3 500)．

(2)若电动车的辆次数不小于 25%，但不大于 40%，则 3 500×(1－40%)≤x≤3 500×(1－25%)，

即2 100≤x≤2 625.画出函数 y＝－0.2x＋1 750(2 100≤x≤2 625)的图象，可得函数 y＝－0.2x＋1 750(2

100≤x≤2 625)的值域是[1 225,1 330]，即收入在 1 225 元至 1 330 元之间．

题型二　二次函数模型

【学透用活】

形如 y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的函数模型是二次函数模型．二次函数模型是重要的数学模型之一，依据实

际问题建立二次函数的解析式后，利用配方法求最值简单易懂，有时也可以依据二次函数的性质求最值，

从而解决利润最大、用料最省等问题．

【例 2】牧场中羊群的最大蓄养量为 m只，为保证羊群的生长空间，实际蓄养量不能达到最大蓄养量，必

须留出适当的空闲率．已知羊群的年增长量 y只和实际蓄养量 x只与空闲率的乘积成正比，比例系数为

k(k>0)．

(1)写出 y关于 x的函数关系式，并指出这个函数的定义域；

(2)求羊群年增长量的最大值；

(3)当羊群的年增长量达到最大值时，求 k的取值范围．

【解析】(1)据题意，由于最大蓄养量为 m只，实际蓄养量为 x只，则蓄养率为，故空闲率为 1－，

由此可得 y＝kx(0<x<m)．

(2)对原二次函数配方，得 y＝－(x2－mx)＝－2＋，即当 x＝时，y取得最大值.

(3)由题意知为给羊群留有一定的生长空间，则有实际蓄养量与年增长量的和小于最大蓄养量，即 0<x＋

y<m.因为当 x＝时，ymax＝，

所以 0<＋<m，解得－2<k<2.又因为 k>0，所以 0<k<2.

故k的取值范围为(0,2)．

【方法技巧】

解决二次函数模型应用题的 4个步骤

【变式训练】

某地预计明年从年初开始的前 x个月内，某种商品的需求总量 f(x)(万件)与月份 x的近似关系为 f(x)＝x(x

＋1)(35－2x)(x∈N，且 x≤12)．

(1)写出明年第 x个月的需求量 g(x)(万件)与月份 x的函数关系式；

(2)求哪个月份的需求量最大？最大值为多少？

(1)由题意知：g(x)＝f(x)－f(x－1)

＝x(x＋1)(35－2x)－(x－1)x[35－2(x－1)]

＝x[(x＋1)(35－2x)－(x－1)(37－2x)]

＝x(72－6x)＝x(12－x)．

∴g(x)＝x(12－x)(x∈N且x≤12)．

(2)g(x)＝(12－x)＝－(x2－12x＋36－36)＝－(x－6)2＋，∴当 x＝6时，g(x)有最大值.

即第六个月需求量最大，为万件．

题型三　幂函数模型的应用

【学透用活】

能用幂型函数 f(x)＝axα＋b(a，b，α为常数，a≠0)表达的函数模型叫做幂函数模型，其增长情况随xα

中α的取值而定，常见的有二次函数模型和反比例函数模型．

【例 3】某药厂研制出一种新型药剂，投放市场后其广告投入x(万元)与药品利润 y(万元)存在的关系为 y＝

xα(α为常数)，其中 x不超过5万元，已知去年投入广告费用为 3万元时，药品利润为 27 万元，若今年广告

费用投入5万元，预计今年药品利润为________万元．

【答案】125

【解析】由已知投入广告费用为 3万元时，药品利润为 27 万元，代入 y＝ xα中，即 3α＝27，解得 α＝3，故

函数解析式为 y＝x3，所以当 x＝5时，y＝125.

【方法技巧】

解决幂函数模型的 4步骤

(1)认真阅读，理解题意；

(2)用数学符号表示相关量，列出函数解析式；

(3)根据幂函数的性质推导运算，求得结果；

(4)转化成具体问题，给出解答．　　

【变式训练】

在固定压力差(压力差为常数)下，当气体通过圆形管道时，其流量R与管道半径 r的四次方成正比．

(1)写出函数解析式；

(2)假设气体在半径为3 cm 的管道中的流量为 400 cm3/s，求该气体通过半径为r cm 的管道时，其流量R的

函数解析式；

(3)已知(2)中的气体通过的管道半径为5 cm，计算该气体的流量．

【解析】(1)由题意，得 R＝kr4(k是大于 0的常数)．

(2)由r＝3 cm，R＝400 cm3/s，得 k·34＝400，

∴k＝，∴流量 R的函数解析式为 R＝·r4.

(3)∵R＝·r4，

∴当 r＝5 cm 时，R＝×54≈3 086(cm3/s).

题型四　分段函数模型的应用

【探究发现】

什么是分段函数？分段函数的最值怎样求解？

【提示】分段函数是自变量 x在不同的取值范围内，函数有着不同的对应关系的函数．求最值时应求出每

个范围内的最值再比较取最大最小．　　　

【学透用活】

【例 4】提高过江大桥的车辆通行能力可改善整个城市的交通状况．在一般情况下，大桥上的车流速度

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