专题08 动点问题利用相似构建函数 -2020-2021学年九年级数学全一册重点题型通关训练（人教版）（原卷版）

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专题 08 动点问题利用相似建构函数

【专题导入】

1. 如图，在等边三角形 ABC 中，AB=2，点 E，D分别在 BC，AB 上，且∠AED=60°.

（1）求证：△AEC～△EDB；

（2）若 EC=x，求 BD 的长度（用 x的代数式表示）.

【方法点睛】

利用三角形的相似把所需要的边表示出来，最后利用得出的方程或函数进行解答.

【例 1】如图所示，AB=BC=4，∠B=90°，点 E为线段 BC 上一动点（不与点 B，C重合），分别

过点 E、C作AE，BC 的垂线，两条垂线相交于点 D．

（1）证明：∠AEB=∠CDE；

（2）设 BE=x，CD=y，试求 y关于 x的函数关系式，并写出 x的取值范围．

同步练习 1. 如图，点 E、F分别是正方形 ABCD 的边 BC、CD 上的动点，连结 AE、EF．

（1）若点 E是BC 的中点，CF：FD=1：3，求证：△ABE∽△ECF；

（2）若 AE⊥EF，设正方形的边长为 6，BE=x，CF=y．当 x取什么值时，y有最大值？并求出

这个最大值．

【例 2】如图，矩形 CDEF 两边 EF、FC 的长分别为 8和6，现沿 EF、FC 的中点 A、B截去一角

成五边形 ABCDE，P是线段 AB 上一动点，试确定 AP 的长为多少时，矩形 PMDN 的面积取得最

大值．

同步练习 2. 如图在锐角△ABC 中，BC=6，高 AD=4，两动点 M、N分别在 AB、AC 上滑动（不

包含端点），且 MN∥BC，以 MN 为边长向下作正方形 MPQN，设 MN=x，正方形 MPQN 与

△ABC 公共部分的面积为 y．

（1）如图（1），当正方形 MPQN 的边 P恰好落在 BC 边上时，求 x的值；

（2）如图（2），当 PQ 落△ABC 外部时，求出 y与x的函数关系式（写出 x的取值范围）并求出

x为何值时 y最大，最大是多少？

【专题过关】

1.如图，在△ABC 中，点 D、E分别在边 BC、AC 上，连接 AD、DE，且∠B=∠ADE=∠C．

（1）证明：△BDA∽△CED；

（2）若∠B=45°，BC=2，当点 D在BC 上运动时（点 D不与 B、C重合），且△ADE 是等腰三角

形，求此时 BD 的长．

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