专题08 动点问题利用相似构建函数 -2020-2021学年九年级数学全一册重点题型通关训练（人教版）（解析版）

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专题 08 动点问题利用相似建构函数
【专题导入】
1. 如图，在等边三角形 ABC 中，AB=2，点 E，D分别在 BC，AB 上，且∠AED=60°.
（1）求证：△AEC～△EDB；
（2）若 EC=x，求 BD 的长度（用 x的代数式表示）.
【解析】（1）∵△ABC 是等边三角形，
∴∠B=∠C=60°，
∴∠EDB+∠BED=120°，∠CAE+∠AEC=120°
∵∠AED=60°，
∴∠BED+∠AEC=180°-60°=120°，
∴∠BED=∠CAE，
∴△AEC～△EDB．
（2）由（1）可知△AEC～△EDB.
其中 BE=BC-EC=2-x，
AC
BE
=
EC
DB
,即
2
2−x
=
x
BD
，
∴BD=
1
2
x（2-x）=-
1
2
x2+x.
【方法点睛】
利用三角形的相似把所需要的边表示出来，最后利用得出的方程或函数进行解答.
【例 1】如图所示，AB=BC=4，∠B=90°，点 E为线段 BC 上一动点（不与点 B，C重合），分别
过点 E、C作AE，BC 的垂线，两条垂线相交于点 D．
（1）证明：∠AEB=∠CDE；
（2）设 BE=x，CD=y，试求 y关于 x的函数关系式，并写出 x的取值范围．
【解析】（1）证明：∵CD⊥BC，
∴∠C=90°，
∴∠CED+∠CDE=90°．
∵AE⊥DE，
∴∠AED=90°，
∴∠BEA+∠CED=180°-∠AED=90°，
∴∠BEA=∠CDE．
（2）解：∵∠BEA=∠CDE，∠B=∠C=90°，
∴△BEA∽△CDE，
∴
=
CE
BA
，即
y
x
=
4−x
4
，
∴y=-
1
4
x2+x．
∵点 E为线段 BC 上一动点（不与点 B、C重合），
∴y=-
1
4
x2+x（0＜x＜4）．
同步练习 1. 如图，点 E、F分别是正方形 ABCD 的边 BC、CD 上的动点，连结 AE、EF．
（1）若点 E是BC 的中点，CF：FD=1：3，求证：△ABE∽△ECF；
（2）若 AE⊥EF，设正方形的边长为 6，BE=x，CF=y．当 x取什么值时，y有最大值？并求出
这个最大值．
【解析】（1）证明：∵点 E是BC 的中点，
∴EC=EB=
1
2
BC．
∵CF∶FD=1∶3，
∴CF∶CD=1∶4．
∵四边形 ABCD 为正方形，
∴∠B=∠C=90°，AB=BC=CD，
∴
EC
AB
=
CF
BE
=
1
2
，
∴△ABE∽△ECF．
（2）解：∵四边形 ABCD 为正方形，
∴∠B=∠C=90°．
∵AE⊥EF，
∴∠AEF=90°，
∴∠BAE+∠AEB=90°，∠AEB+∠CEF=90°，
∴∠BAE=∠CEF，
∴△ABE∽△ECF，
∴
CF
BE
=
CE
BA
，即
y
x
=
6−x
6
，
∴y=-
1
6
x2+x=-
1
6
（x-3）2+
3
2
，
∴当 x=3 时，y取得最大值，最大值为
3
2
．
【例 2】如图，矩形 CDEF 两边 EF、FC 的长分别为 8和6，现沿 EF、FC 的中点 A、B截去一角
成五边形 ABCDE，P是线段 AB 上一动点，试确定 AP 的长为多少时，矩形 PMDN 的面积取得最
大值．
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