专题06 二次函数中相似三角形存在性（1）——直角三角形 -2020-2021学年九年级数学重点题型通关训练（人教版）（解析版）

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专题 06 二次函数中相似三角形存在性（1）——直角三角形
【专题导入】
1. 如图，在平面直角坐标系中，点 A（-4，2），点 B在第一象限，AB 平行于 x轴且 AB=5．过点
A作AC⊥x轴于 C，在 x轴上是否存在点 D，使得△AOC 与△BOD 相似？
【解析】∵点 A（-4，2），点 B在第一象限，AB 平行于 x轴且 AB=5，
∴点 B（1，2）.
过点 B作BD⊥CO，则点 D（1，0），
∴OD=1，BD=2，
∵AC⊥x轴，点 A（-4，2），
∴AC=2，CO=4，
∴
AC
CO
＝
1
2
＝
OD
BD
，且∠ACO=∠ODB=90°，
∴△ACO∽△ODB，
∴当点 D为（1，0）时，△AOC 与△BOD 相似；
∵△ACO∽△ODB，
∴∠AOC=∠OBD，∠CAO=∠BOD，
∵∠AOC+∠CAO=90°，
∴∠AOC+∠BOD=90°，
∴AO⊥BO，
∵AC=2，CO=4，
∴AO=
❑
√
AC2+CO2
=
❑
√
16+4
=2
❑
√
5
，
∵OD=1，BD=2，
∴OB=
❑
√
OD2+BD2
=
=
❑
√
5
，
过点 B作BD'⊥OB，交 x轴于 D'，
∵∠ACO=∠OBD'，∠BOD=∠CAO，
∴△ACO∽△OBD'，
∴
AC
AO
＝
BO
OD '
，
∴OD'=
2❑
√
5×❑
√
5
2
=5.
∴D'（5，0）
综上所述：当点 D为（1，0）或（5，0）时，△AOC 与△BOD 相似
【方法技巧】两个三角形相似，最容易得出的特征是“角”的相等.对于是否存在一个三角形与另外
一个直角三角形相似，最直观的做法就是“做垂线”.
示例：已知∠B= E∠，∠C=90°，动点 F在直线 EG 上运动，要找出 D,E,F 三点为顶点的三角形与
△ABC 相似，
①过点 D作DF′ EG⊥，与 EG 交于点 F′，F′即为所求；
②过点 D作DF″ ED⊥，与 EG 交于点 F″，F″即为所求.
【例 1】如图，抛物线 y=-x2-2x+3 与坐标轴交点分别为 A,B,C.点D（0,1）.连接 CD，若点 P是第二
象限内抛物线上的动点，其横坐标为 t，设抛物线对称轴 l与x轴交于一点 E，连接 PE，交 CD 于
F，求出当△CEF 与△COD 相似时，点 P的坐标.
【解析】可得 A（1，0），B（0，3），C（-3，0），
抛物线对称轴为 x=-1，顶点坐标为（-1，4），
∵△COD 为直角三角形，
∴当△CEF 与△COD 相似时有两种情况，即∠FEC=90°或∠EFC=90°，
若∠FEC=90°，则 PE⊥CE.
∵对称轴与 x轴垂直，
∴此时抛物线的顶点即为满足条件的 P点，此时 P点坐标为（-1，4）；
若∠EFC=90°，则 PE⊥CD，
如图，过 P作PG⊥x轴于点 G，
则∠GPE+∠PEG=∠DCO+∠PEG，
∴∠GPE=∠OCD，且∠PGE=∠COD=90°，
∴△PGE∽△COD，
∴
PG
OC
=
¿
OD
，
∵E（-1，0），G（t，0），且 P点横坐标为 t，
∴GE=-1-t，PG=-t2-2t+3，
∴
−t2−2t+3
3
=
−1−t
1
，解得 t=-2 或t=3，
∵P点在第二象限，
∴t＜0，即 t=-2，
此时 P点坐标为（-2，3），
综上可知满足条件的 P点坐标为（-1，4）或（-2，3）.
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