专题05 与角平分线、垂线、等腰三角形相关辅助线添加题型解读（解析版）-八年级数学秘籍之全面解读三角形与全等三角形(人教版)

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专题 05 与角平分线、垂线、等腰三角形相关辅助线添加题型解读
一、基础知识点综述
利用平行线构造等腰三角形
A
BC
DE
FG
△ABC 为等腰三角形，AB=AC，DE∥BC，FG∥BC，则△ADE，△AFG 是等腰三角形.
一线三直角构造全等三角形
A
B
C
D
E
A
B
C
D
E
∠C=∠ABD=∠E=90°，C、B、E三点共线，AB=BD，则△ABC≌△BDE；
A
B
C
D
E
A
B
C
D
E
∠C=∠EAD=90°，C、A、E三点共线，DE⊥AB，AB=DE，则△ABC≌△DEA；
过角平分线上点向角两边作垂线段
二、典型例题解析
题型一：利用角平分线性质解题题型
例1. （2019·深圳期中）如图，在△ABC 中，∠BAC=40°，∠ACB=60°，D为△ABC 外一点，DA 平分
∠BAC，∠CBD=50°，求∠DCB 的度数.
【答案】见解析.
【解析】解：
如图，过 D作DH⊥AB 于H，DE⊥AC 于E，DF⊥BC 于F，
∵∠PBC=∠BAC+∠ACB=100°，∠CBD=50°，
∴∠DBC=∠DBH，
∴DF=DH，
∵DA 平分∠CAB，DH⊥AB，DE⊥AC，
∴DE=DH，
∴DE=DF，
∴CD 平分∠BCE，
∵∠QCB=120°，
∴∠DCB=60°.
题型二：一线多用
例2. （2017·北京中考）在等腰直角△ABC 中，∠ACB=90°，点 P是线段 BC 上一动点（与点 B,C不重
合），连接 AP，延长 BC 至点 Q,使得 CQ=CP,过点 Q作QH⊥AP 于点 H,交直线 AB 与点 M。
（1）若∠PAC=α ，求∠AMQ 的大小（用含 α的式子表示）
（2）用等式表示线段 MB 与PQ 之间的数量关系，并证明.（可用结论：等腰直角三角形斜边长等于腰
长的 倍.）
2
【答案】见解析.
【解析】解：
（1）∠AMQ=45°+α；理由如下：
∵∠PAC=α，△ACB 是等腰直角三角形，
∴∠BAC=∠B=45°，∠PAB=45°-α，
∵QH⊥AP，
∴∠AHM=90°，
∴∠AMQ=180°-∠AHM-∠PAB=45°+α；
（2）如图，连接 AQ，过 M作ME⊥BC 于E，
∵AC⊥PQ，QC=PC，
∴∠QAC=∠PAC=α，
∴∠QAM=45°+α=∠AMQ，
∴AP=AQ=QM，
∴△APC≌△QME，
∴PC=ME，
由△MEB 是等腰直角三角形，
得,
即PQ=MB.
例3. （2019·河南平顶山周练）在△ABC 中，∠BAC=90°，AB=AC，BD 平分∠ABC，过 C作
1 2
2 2
PQ MB
2
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