专题05 平行四边形中的最值与路径问题-【专题突破】2021-2022学年八年级数学下学期重难点及章节分类精品讲义(人教版) （解析版）

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专题训练（五）平行四边形中的最值与路径问题
1．如图，在 Rt△ABC 中，∠BAC=90°，AB=3，AC=4，P为边 BC 上一动点，PE⊥AB 于
E，PF⊥AC 于F，M为EF 的中点，则 AM 的最小值是______________．
【答案】
【详解】∵∠BAC=90°，AB=3，AC=4，
∴BC= =5，
∴BC 边上的高 h=，
∵∠BAC=90°，PE⊥AB，PF⊥AC，
题型一：平行四边形中的最值问题
最值问题常涉及到的定理：
垂线段最短原理；
两点之间，线段最短；
∴四边形 AEPF 是矩形，
∴AP=EF，
∵∠BAC=90°，M为EF 的中点，
∴AM=EF，
∴AM=AP，
∴当 AP 最小时，AM 有最小值，根据垂线段最短，当 AP 为BC 上的高时即 AP=h时最短，
∴AP 的最小值为 ，
∴AM 的最小值为 ，故答案为： ．
2．如图，在▱ABCD 中，AD=7，AB=2 ，∠B=60°．E是边 BC 上任意一点，沿 AE 剪开，将
△ABE 沿BC 方向平移到△DCF 的位置，得到四边形 AEFD，则四边形 AEFD 周长的最小值为_
____．
【答案】20
【详解】当 AE BC⊥时，四边形 AEFD 的周长最小，
∵AE BC⊥，AB=2 ，∠B=60°，
∴AE=3，BE= ，
∵△ABE 沿BC 方向平移到△DCF 的位置，
∴EF=BC=AD=7，
∴四边形 AEFD 周长的最小值为：14+6=20，故答案为 20.
3．两张宽 矩形纸片重叠在一起，然后将其中的一张任意旋转一个角度，则重叠部分
（图中的阴影部分）的四边形 的形状为________，其面积的最小值为________ ．
【答案】jjjj 菱形jjjj
【详解】作 AE BC⊥于E，AF CD⊥于F． ∵纸条对边平行，∴ABCD 为平行四边形．
∵纸条等宽，∴AE=AF． ∵S▱ABCD=BC•AE=CD•AF， ∴BC=CD． ∴ABCD 为菱形；
其面积的最小值为：2×2=4cm2．
4．如图，在 中， ， ， ，点 在 边上，以 为对角线
的平行四边形 中， 是对角线的交点， 的最小值是__________．
【答案】3
【详解】过 M点作 MH⊥AC 于H点，如下图所示：
∵四边形 为平行四边形， 是四边形 对角线的交点，
∴ ，
故要使得 DN 最小，只需要 DM 最小即可，则当 MD⊥AC 于H时，DM 有最小值 MH，
∵∠MHA=∠BCA=90°，M为AB 中点，
∴MH 为△ABC 的中位线，
∴MH=BC=，
∴DN 的最小值为 2MH=2× =3，故答案为：3．
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