专题05 利用导数研究函数零点问题（原卷版）-2021-2022学年高二数学下学期期末必考题型归纳及过关测试（人教A版2019）

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专题 05 利用导数研究函数零点问题
【考点预测】
1、利用导数确定函数零点的常用方法
(1)图象法：根据题目要求画出函数的图象，标明函数极(最)值的位置，借助数形结合的思想分析问题（画
草图时注意有时候需使用极限）．
(2)利用函数零点存在定理：先用该定理判定函数在某区间上有零点，然后利用导数研究函数的单调性、极
值(最值)及区间端点值的符号，进而判断函数在该区间上零点的个数．
2、利用函数的零点求参数范围的方法
(1)分离参数( )后，将原问题转化为 的值域(最值)问题或转化为直线 与 的
图象的交点个数问题(优选分离、次选分类)求解；
(2)利用函数零点存在定理构建不等式求解；
(3)转化为两个熟悉的函数图象的位置关系问题，从而构建不等式求解．
【典型例题】
例1．（2022·湖北·蕲春县实验高级中学高二期中）已知函数 ， ．
(1)若存在实数 a，b，使得 ，求 的最大值．
(2)证明： 在 上有且仅有 3个零点．
（参考数据： ， ）
【秒杀总结】
（1）直接法：先对函数求导，根据导数的方法求出函数的单调区间与极值，根据函数的基本性质作出图
象，然后将问题转化为函数图象与 轴的交点问题，突出导数的工具作用，体现了转化与化归思想、数形
结合思想和分类讨论思想的应用；
（2）构造新函数法：将问题转化为研究两函数图象的交点问题；
（3）参变量分离法：由 分离变量得出 ，将问题等价转化为直线 与函数 的
图象的交点问题.
例2．（2022·北京交通大学附属中学高二期中）已知函数 且 .
(1)求 的单调区间；
(2)是否存在实数 ，使得对任意的 ，都有 ？若存在，求实数 的取值范围；若不存在，
请说明理由；
(3)写出函数 的零点的个数.（只需写出结论） ．
例3．（2022·上海交大附中高二期中）若两个函数 与 在 处有相同的切线，则称这
两个函数相切，切点为 .
(1)判断函数 与 是否相切；
(2)设反比例函数 与二次函数 相切，切点为 .求证：函数 与 恰
有两个公共点；
(3)若 ，指数函数 与对数函数 相切，求实数 的值；
(4)设（3）的结果为 ，求证：当 时，指数函数 与对数函数 的图象有三个公共点.
例4．（2022·江苏扬州·高二期中）设函数 ．
(1)当 时，求 在 处的切线方程；
(2)讨论函数 的单调性；
(3)若关于 的方程 有两个不等的实根，求实数 的取值范围．
例5．（2022·广东惠州·高二期中）已知函数 ．
(1)若 ，讨论 的单调性；
(2)若 ， ，证明： 只有 1个零点．
过关测试
1．（2022·天津市蓟州区第一中学高二期中）已知函数
(1)若 ，求函数 的极值；
(2)当 时， 在（1，∞）上恒成立，求实数 m的取值范围；
(3)当 时，若函数 在区间[1，3]上恰有两个不同的零点，求实数 a的取值范围.
2．（2022·重庆市万州第二高级中学高二期中）已知函数 .
(1)若 在 处取得极值，求 在区间 上的值域；
(2)若函数 有 1个零点，求 a的取值范围.
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