专题05 利用导数研究函数零点问题（解析版）-2021-2022学年高二数学下学期期末必考题型归纳及过关测试（人教A版2019）

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专题 05 利用导数研究函数零点问题
【考点预测】
1、利用导数确定函数零点的常用方法
(1)图象法：根据题目要求画出函数的图象，标明函数极(最)值的位置，借助数形结合的思想分析问题（画
草图时注意有时候需使用极限）．
(2)利用函数零点存在定理：先用该定理判定函数在某区间上有零点，然后利用导数研究函数的单调性、极
值(最值)及区间端点值的符号，进而判断函数在该区间上零点的个数．
2、利用函数的零点求参数范围的方法
(1)分离参数( )后，将原问题转化为 的值域(最值)问题或转化为直线 与 的
图象的交点个数问题(优选分离、次选分类)求解；
(2)利用函数零点存在定理构建不等式求解；
(3)转化为两个熟悉的函数图象的位置关系问题，从而构建不等式求解．
【典型例题】
例1．（2022·湖北·蕲春县实验高级中学高二期中）已知函数 ， ．
(1)若存在实数 a，b，使得 ，求 的最大值．
(2)证明： 在 上有且仅有 3个零点．
（参考数据： ， ）
【答案】(1)
(2)证明见解析
【解析】
【分析】
（1）由于 ，可令 ，则 ，再根据
导数在函数最值中的应用，即可求出结果.
（2）当 时，利用函数的单调性和零点存在定理可知在区间 上存在一个零点；当
时，令函数 ，利用函数的单调性和零点存在定理可知 ，
，易知 ， ， ，利用单调性和零点存在定理可知 在
上有 2个零点，由此即可证明结果.
(1)
解：因为 ，所以 ．
令 ，则 ， ，
则
令函数 ，则 ．
易知 为减函数，又 ，
所以 在 上单调递增，在 上单调递减，
则 ，即 的最大值为 ．
(2)
证明： ．
当 时， ， 单调递增．
因为 ， ，
所以 在 上有且仅有 1个零点．
当 时，令函数 ，则 ．
显然 在 上单调递增，
因为 ， ，所以 ， ．
当 时， ， 单调递减；
当 时， ， 单调递增．
故 ．
又 ， ，
所以 ， ， ，
则 在 和 上单调递增，在 上单调递减．
因为 ，所以 ， 在 上没有零点．
又 ，所以 ， 在 上有且仅有 1个零点，
故 在 上有 2个零点．
当 时， ，
所以 在 上单调递增，故 ，即 在 上没有零点．
综上所述， 在 上有且仅有 3个零点．
【秒杀总结】
（1）直接法：先对函数求导，根据导数的方法求出函数的单调区间与极值，根据函数的基本性质作出图
象，然后将问题转化为函数图象与 轴的交点问题，突出导数的工具作用，体现了转化与化归思想、数形
结合思想和分类讨论思想的应用；
（2）构造新函数法：将问题转化为研究两函数图象的交点问题；
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