专题05 函数的最大（小）值（含解析）-2021-2022学年高一数学重难点手册（函数的概念与性质篇，人教A版2019必修第一册）

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专题 05 函数的最大（小）值
知识点一　函数的最大（小）值
1. 函数的最大（小）值
最大值 最小值
一般地，设函数 y＝f(x)的定义域为 I，如果存在实数 M满足
(1)∀x∈I，都有 ；
(2)∃x0∈I，使得
(1)∀x∈I，都有 ；
(2)∃x0∈I，使得
那么，我们称 M是函数 y＝f(x)的最大值 那么，我们称 M是函数 y＝f(x)的最小值
【思考】
若函数 y＝f(x)在区间[a，b]上为增函数，则 f(x)的最大值与最小值分别是多少？
【提示】
最大值为 f(b)，最小值为 f(a)．
2．有关函数最大(小)值问题的关注点
(1)定义中 M首先是一个函数值，它是值域的一个元素，如函数 f(x)＝－x2(x∈R)的最大值为 0，有 f(0)＝0.
(2)最大(小)值定义中的“任意”是说对每一个值都必须满足不等式，即对于定义域内全部元素，都有
f(x)≤M(或f(x)≥M)成立，也就是说，y＝f(x)的图象不能位于直线 y＝M的上(下)方．
(3)最大(小)值定义中的“存在”是说定义域中至少有一个实数满足等式，也就是说 y＝f(x)的图象与直线 y
＝M至少有一个交点．
(4)求函数在某个闭区间上的最值问题，可以先作出函数的图象，判断其在该区间上的单调性，并加以证明，
利用函数的单调性求函数的最大值和最小值．另外利用函数的单调性可以比较函数值或自变量的大小；求
某些函数的值域，也常用于解(证)不等式；还可以绘制某些函数的草图等等．
【基础自测】
1．判断正误(正确的画“√”，错误的画“×”)
(1)若对任意 x∈I，都有 f(x)≤M，则 M是函数 f(x)的最大值． (　　)
(2)如果函数有最值，则最值一定是其值域中的一个元素． (　　)
(3)如果函数的值域是确定的，则它一定有最值． (　　)
(4)函数的最大值一定比最小值大． (　　)
(5)若函数 f(x)在区间[－1,2]上是减函数，则函数 f(x)在区间[－1,2]上的最大值为 f(－1)． (　　)
【答案】（1）×（2）√（3）×（4）√（5）×
2.函数 y＝f(x)在[－2,2]上的图象如图所示，则此函数的最小值、最大值分别是
(　　)
A．－1,0　　　B．0,2 C．－1,2 D．，2
【答案】C
【解析】由图可知，f(x)的最大值为 f(1)＝2，f(x)的最小值为 f(－2)＝－1.
3．设函数 f(x)＝3x－1(x＜0)，则 f(x) (　　)
A．有最大值 B．有最小值 C．既有最大值又有最小值 　 D．既无最大值又无最小
值
【答案】D
【解析】∵f(x)在(－∞，0)上单调递增，∴f(x)＜f(0)＝－1，故选 D.
4．函数 f(x)＝，x∈[1,2]，则 f(x)的最大值为________，最小值为________．
【解析】1
【解析】∵f(x)＝在区间[1,2]上为减函数，∴f(2)≤f(x)≤f(1)，即≤f(x)≤1.
题型一　图像法求函数的最值问题
【探究发现】
函数最大值或最小值与函数图象有什么关系？
【提示】函数的最大值是 f(x)图象上最高点的纵坐标．函数的最小值是 f(x)图象上最低点的纵坐标．
【例 1】　(1)若x∈R，f(x)是y＝2－x2，y＝x这两个函数中的较小者，则 f(x)的最大值为 (　　)
A．2　　　　　　　　　B．1 C．－1 D．无最大值
(2)求函数 y＝|x＋1|－|x－2|的最大值和最小值．
【解析】(1)选B　在同一坐标系中画出函数 y＝2－x2，y＝x的图象，如图：根据题意，图
中实线部分即为函数 f(x)的图象．所以当 x＝1时，f(x)max＝1.
(2)y＝|x＋1|－|x－2|＝
作出函数的图象如图所示，由图可知，y∈[－3,3]．所以函数的最大值为 3，最小值为
－3.
【方法技巧】
(1)任取一条垂直于 x轴的直线 l.
【变式训练】
1．[已知图象求最值]函数 f(x)在区间[－2,5]上的图象如图所示，则此函数的最小值、最大值分别是 (
)
A．－2，f(2)　　　B．2，f(2) C．－2，f(5) D．2，f(5)
【答案】C
【解析】由函数的图象知，当 x＝－2时，有最小值－2；当 x＝5时，有最大值 f(5)．
2．[作函数图象求最值]对于每个实数 x，设 f(x)是y＝4x＋1，y＝x＋2和y＝－2x＋4这三个函数值中的最
小
值，则函数 f(x)的最大值为(　　 )
A. B．3 C. D．
【答案】A
【解析】由题意，可得函数 f(x)的图象如图所示．由得 A，∴f(x)的最大值为.
题型二　利用单调性求函数最值
利用单调性求最值的常用结论
(1)如果函数 f(x)在区间[a，b]上是增(减)函数，则 f(x)在区间[a，b]的左、右端点处分别取得最小(大)值和
最大(小)值．
(2)如果函数 f(x)在区间(a，b]上是增函数，在区间[b，c)上是减函数，则函数 f(x)在区间(a，c)上有最大值
f(b)．　
(3)如果函数 f(x)在区间(a，b]上是减函数，在区间[b，c)上是增函数，则函数 f(x)在区间(a，c)上有最小值
f(b)．　
【例 2】已知函数 f(x)＝x＋.
(1)证明：f(x)在(1，＋∞)内是增函数；
(2)求f(x)在[2,4]上的最值．
【解析】(1) 证明：设对于任意 x1，x2∈(1 ， ＋ ∞ )， 且 x1<x2.则f(x1)－f(x2)＝x1＋ － x2－ ＝ (x1－x2)·
＝.∵x2>x1>1，∴x1－x2<0，又∵x1x2>1，∴x1x2－1>0，
故(x1－x2)·<0，即 f(x1)<f(x2)，∴f(x)在(1，＋∞)内是增函数．
(2)由(1)可知 f(x)在[2,4]上是增函数，∴当 x∈[2,4]时，f(2)≤f(x)≤f(4)．又 f(2)＝2＋＝，f(4)＝4＋＝，
∴f(x)在[2,4]上的最大值为，最小值为.
【方法技巧】
1．利用单调性求函数的最大(小)值的一般步骤
(1)判断函数的单调性．
(2)利用单调性求出最大(小)值．
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