专题05 分式方程与无理方程的解法重难点突破（解析版）-【教育机构专用】2021年暑假初升高数学精品讲义（全国通用）

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专题 05 分式方程与无理方程的解法
初中大家已经学习了可化为一元一次方程的分式方程的解法．本讲将要学习可化为一元二次方程的分
式方程的解法以及无理方程的解法．并且只要求掌握(1)不超过三个分式构成的分式方程的解法，会用”去
分母”或”换元法”求方程的根，并会验根；(2)了解无理方程概念，掌握可化为一元二次方程的无理方程
的解法，会用”平方”或”换元法”求根，并会验根．
一、可化为一元二次方程的分式方程
例 1、（1）解方程 ．
【分析】：去分母，转化为整式方程．
【解析】：原方程可化为： ，方程两边各项都乘以 ：
即 ， 整理得：
解得： 或 ．
检验：把 代入 ，不等于 0，所以 是原方程的解；
把 代入 ，等于 0，所以 是增根．所以，原方程的解是 ．
【点睛】：
(1) 去分母解分式方程的步骤：
①把各分式的分母因式分解； ②在方程两边同乘以各分式的最简公分母； ③去括号，把所有项都移到左
边，合并同类项； ④解一元二次方程； ⑤验根．
(2) 验根的基本方法是代入原方程进行检验，但代入原方程计算量较大．而分式方程可能产生的增根，就是
使分式方程的分母为 0 的根．因此我们只要检验一元二次方程 的根，是否使分式方程两边同乘的各分式的
最简公分母为 0．若为 0，即为增根；若不为 0，即为原方程的解．
（2）解方程
【分析】：本题若直接去分母，会得到一个四次方程，解方程很困难．但注意到方程的结构特点，设
，即得到一个关于 的一元二次方程．最后在已知 的值的情况下，用去分母的方法解方程
．
【解析】：设 ，则原方程可化为： 解得 或 ．
(1)当 时， ，去分母，得 ；
(2)当 时， ．
检验：把各根分别代入原方程的分母，各分母都不为 0．
所以， ， 都是原方程的解．
（3）．不等式 的解是__________．
【答案】
【解析】不等式 等价于 或 解得
【变式训练 1-1】．分式方程 的解为：（ ）
A、1　 　B、2　　　　　C、 　　　　D、0
【答案】A
【解析】根据分式方程的解法：去分母，得 2-3x=x-2，移项后解得 x=1，检验 x=1 是 原分式方程的根．
答案为 A
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