专题04 二次函数与平行四边形存在性问题-2018-2019学年九年级数学人教版方法技巧专练（解析版）

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典例示范

例（2018•济宁）如图，已知抛物线 y=ax2+bx+c（a≠0）经过点 A（3，0），B（﹣1，0），C（0，﹣

3）．

（1）求该抛物线的解析式；

（2）若以点 A 为圆心的圆与直线 BC 相切于点 M，求切点 M 的坐标；

（3）若点 Q 在 x 轴上，点 P 在抛物线上，是否存在以点 B，C，Q，P 为顶点的四边形是平行四边形？

若存在，求点 P 的坐标；若不存在，请说明理由．

【答案】（1）y=x2﹣2x﹣3（2）M（﹣ ，﹣ ）（3）存在以点 B，C，Q，P 为顶点的四边形是平行

四边形，P 的坐标为（1+ ，3）或（1﹣ ，3）或（2，﹣3）．

（1）把 A（3，0），B（﹣1，0），C（0，﹣3）代入抛物线解析式得：，

解得：，

则该抛物线解析式为 y=x2﹣2x﹣3；

（2）设直线 BC 解析式为 y=kx﹣3，

把 B（﹣1，0）代入得：﹣k﹣3=0，即 k=﹣3，

∴直线 BC 解析式为 y=﹣3x﹣3，

∴直线 AM 解析式为 y= x+m，

把 A（3，0）代入得：1+m=0，即 m=﹣1，

∴直线 AM 解析式为 y= x﹣1，

联立得：，

解得：，

则 M（﹣ ，﹣ ）；

解得：m=1± ，x=2± ，

当 m=1+ 时，m2﹣2m﹣3=8+2 ﹣2﹣2 ﹣3=3，即 P（1+ ，3）；

当 m=1﹣ 时，m2﹣2m﹣3=8﹣2 ﹣2+2 ﹣3=3，即 P（1﹣ ，3）；

当四边形 BCPQ 为平行四边形时，由 B（﹣1，0），C（0，﹣3），

根据平移规律得：﹣1+m=0+x，0+m2﹣2m﹣3=﹣3+0，

解得：m=0 或 2，

当 m=0 时，P（0，﹣3）（舍去）；当 m=2 时，P（2，﹣3），

当四边形 BQCP 是平行四边形时，

由平移规律得：﹣1+0=m+x，0﹣3=m2﹣2m﹣3，

解得：m=0 或 2，x=﹣1 或﹣3，

当 m=0 时，P（0，﹣3）（舍去）；当 m=2 时，P（2，﹣3），

综上，存在以点 B，C，Q，P 为顶点的四边形是平行四边形，P 的坐标为（1+ ，3）或（1﹣

，3）或（2，﹣3）．学科网

【方法指导】遇到两定点两动点能否构成平行四边形时，要分两定点的连线是边还是对角线两种情况

讨论：

（1）一个动点在对称轴上，一个动点在抛物线上时

①定点连线为边：利用已知两定点横坐标之差的绝对值等于两动点横坐标之差的绝对值，求出抛物线

上点的横坐标，根据抛物线的解析式，求出抛物线上动点坐标.

②定点连续为对角线：利用两定点连线段的中点横坐标等于两动点连线段的中点横坐标，求出抛物线

上点的横坐标，根据抛物线的解析式，求出抛物线上动点坐标.

（2）两定点在同一个坐标轴上时

①定点连线为边：若两定点所在的直线为 x 轴或与 x 轴平行时，只需要两动点的纵坐标相等，横坐标

之差的绝对值等于两定点连线长；若两定点所在的直线为 y 轴或与 y 轴平行时，只需要两动点的横坐标相

等，纵坐标之差的绝对值等于两定点连线长.

②定点连续为对角线：只需要两动点连线段的中点坐标与两定点连线段的中点坐标一样即可.

（3）一个动点在坐标轴上，一个动点在抛物线上

①定点连线为边：可考虑平移，一个定点移动到另一定点的平移方式便是一动点移动到另一动点的平

移方式，从而得到方程.

②定点连续为对角线：若一动点在 x 轴上，只需要抛物线上动点的纵坐标为定点连线中点纵坐标的 2

倍；若一动点在 y 轴上，只需要让抛物线动点的横坐标等于定点连线中点横坐标的 2 倍.

针对训练[来源:学&科&网]

1．（2018•百色）抛物线 y=ax2+bx 的顶点 M（，3）关于 x 轴的对称点为 B，点 A 为抛物线与 x 轴的

一个交点，点 A 关于原点 O 的对称点为 A′；已知 C 为 A′B 的中点，P 为抛物线上一动点，作 CD⊥x 轴，

PE⊥x 轴，垂足分别为 D，E．

（1）求点 A 的坐标及抛物线的解析式；

（2）当 0＜x＜2 时，是否存在点 P 使以点 C，D，P，E 为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求

出点 P 的坐标；若不存在，请说明理由．

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