专题3.15 旋转全等模型——半角模型（专项练习）-2021-2022学年八年级数学下册基础知识专项讲练（北师大版）

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专题 3.15 旋转全等模型——半角模型（专项练习）

、单选题

1．如图，在中，，、是斜边上两点，且，将

绕点顺时针旋转 90°后，得到，连接．以下结论：① ；

② ；③ ；④ ．其中正确的是（）

A．②④ B．①④ C．②③ D．①③

二、解答题

2．阅读以下材料，并按要求完成相应的任务：

任务：从正方形的一个顶点引出夹角为的两条射线，并连接它们与该顶点的两对边的

交点构成的基本平面几何模型称为半角模型．半角模型可证出多个几何结论，例如：

如下图 1，在正方形中，以为顶点的，、与、边分别

交于、两点．易证得．

大致证明思路：如图 2，将绕点顺时针旋转，得到，由可

得、、三点共线，，进而可证明，故

．

如图 3，在四边形中，，，，以为顶点的

，、与、边分别交于、两点．请参照阅读材料中的解题方

法，你认为结论是否依然成立，若成立，请写出证明过程；若不成立，请说

明理由．

3．已知四边形 ABCD 中，AB⊥AD，BC⊥CD，AB＝BC，∠ABC＝120°，∠MBN＝

60°，∠MBN 绕B点旋转，它的两边分别交 AD，DC（或它们的延长线）于 E，F．

（1）当∠MBN 绕B点旋转到 AE＝CF 时（如图 1），求证：△ABE≌△CBF．

（2）当∠MBN 绕点 B旋转到 AE≠CF 时，如图 2，猜想线段 AE，CF，EF 有怎样的数量关

系，并证明你的猜想．

（3）当∠MBN 绕点 B旋转到图 3这种情况下，猜想线段 AE，CF，EF 有怎样的数量关系，

并证明你的猜想．

4．综合与实践，已知：如图 1和图 2，四边形 ABCD 中，，，点

E、F分别在 BC、CD 上，．

问题探究：

（1）如图 1，若、都是直角，把绕点 A逆时针旋转 90°至，使 AB

与AD 重合，则 ______度，线段 BE、DF 和EF 之间的数量关系为______；

问题再探：

（2）如图 2，若、都不是直角，但满足，线段 BE、DF 和EF 之间

的数量关系是否仍然成立，若成立，请写出证明过程；若不成立，请说明理由．

拓展应用：

（3）如图 3，在中，，．点 D、E均在边 BC 边上，且

，若，则 DE 的长为______．

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