专题3.14 探究图形之性质，代数运算是利器-玩转压轴题，突破140分之高三数学解答题高端精品（2019版）（原卷版）

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专题 14 探究图形之性质，代数运算是利器

【题型综述】

探究图形之性质问题解题策略：（1）“肯定顺推法”，将不确定性问题明朗化.其步骤为假设满足条件的

元素某性质图形存在，用向量或平面几何知识，转化直线与圆锥曲线交点坐标的函数式，利用设而不求思

想，列出关于待定系数的方程组，若方程组有实数解，则某性质图形存在存在；否则，元素某性质图形存

在不存在.(2)反证法与验证法也是求解探索性问题常用的方法.

【典例指引】

类型一面积计算

例1 【2016 高考上海理数】（本题满分 14）有一块正方形菜地 ,所在直线是一条小河，收货的

蔬菜可送到点或河边运走。于是，菜地分为两个区域和，其中中的蔬菜运到河边较近，中的

蔬菜运到点较近，而菜地内和的分界线上的点到河边与到点的距离相等，现建立平面直角坐

标系，其中原点为的中点，点的坐标为（1,0），如图

（1）求菜地内的分界线的方程

（2）菜农从蔬菜运量估计出面积是面积的两倍，由此得到面积的“经验值”为。设是上

纵坐标为 1的点，请计算以为一边、另一边过点的矩形的面积，及五边形的面积，并判

断哪一个更接近于面积的经验值

【解析】

类型二四边形形状探究

例2. 【2015 高考新课标 2，理 20】已知椭圆 ,直线不过原点且不平行于坐标

轴，与有两个交点，，线段的中点为．

（Ⅰ）证明：直线的斜率与的斜率的乘积为定值；

（Ⅱ）若过点，延长线段与交于点，四边形能否为平行四边形？若能，求此时

的斜率，若不能，说明理由．

【解析】

类型三探究角是否相等

例3【2015 高考北京，理 19 】已知椭圆：的离心率为，点和点

都在椭圆上，直线交轴于点．

（Ⅰ）求椭圆的方程，并求点的坐标（用，表示）；

（Ⅱ）设为原点，点与点关于轴对称，直线交轴于点．问：轴上是否存在点，使得

？若存在，求点的坐标；若不存在，说明理由．

【解析】

类型四探究两直线的位置关系

例4.【2017 课标 3，文 20】在直角坐标系 xOy 中，曲线与 x轴交于 A，B两点，点 C的坐

标为 .当m变化时，解答下列问题：

（1）能否出现 AC⊥BC 的情况？说明理由；

（2）证明过 A，B，C三点的圆在 y轴上截得的弦长为定值.

【解析】

【扩展链接】

1.给出 ,等于已知 ,即是直角,给出 ,等于已知是钝

0 MBMA

MBMA AMB

0 mMBMA

AMB

角, 给出 ,等于已知是锐角；

2.给出 ,等于已知是的平分线；

3.在平行四边形中，给出，等于已知是菱形;

4.在平行四边形中，给出，等于已知是矩形;

5.已知抛物线方程为，定点 M，直线过点 M交抛物线于 A，B两点，

，则有；

【新题展示】

1．【2019 四川凉山二诊】椭圆长轴右端点为，上顶点为，为椭圆中心，为椭圆的右焦点，且

，离心率为．

（1）求椭圆的标准方程；

（2）直线交椭圆于、两点，判断是否存在直线，使点恰为的垂心？若存在，求出直线的方程；

若不存在，请说明理由．

【思路引导】

（1）由条件布列关于 a，b的方程组，即可得到椭圆的标准方程；

（2）由为的垂心可知，利用韦达定理表示此条件即可得到结果．

2．【2019 山东潍坊一模】如图，点为圆：上一动点，过点分别作轴，轴的垂线，垂足

分别为，，连接延长至点，使得，点的轨迹记为曲线．

（1）求曲线的方程；

（2）若点，分别位于轴与轴的正半轴上，直线与曲线相交于，两点，试问在曲线上是否存

0 mMBMA

AMB

MA 

















AMB

ABCD

0)()(  ADABADAB

ABCD

| | | |AB AD AB AD  

                                          

ABCD

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