专题3.9 曲线是否过定点，可推可算可检验-玩转压轴题，突破140分之高三数学解答题高端精品（2019版）（解析版）

3.0 envi 2025-05-06 13 4 1.34MB 33 页 3知币

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【题型综述】

直线过定点问题在全国卷近几年高考中出现的频率较低，是圆锥曲线部分的小概率考点．此种平民解

法思维上比较接地气，但是实际操作上属于暴力美学范畴．定点问题是常见的出题形式，化解这类问题的

关键就是引进变的参数表示直线方程、数量积、比例关系等，根据等式的恒成立、数式变换等寻找不受参

数影响的量．直线过定点问题通法，是设出直线方程，通过韦达定理和已知条件找出 k和m的一次函数关

系式，代入直线方程即可．技巧在于：设哪一条直线？如何转化题目条件？

【典例指引】

例1、（“手电筒”模型）已知椭圆 C：若直线

l y：=kx+m

与椭圆 C相交于 A，B两点

（A，B不是左右顶点），且以 AB 为直径的圆过椭圆 C的右顶点．求证：直线

过定点，并求出该定点的

坐标．

◆方法总结：本题为“弦对定点张直角”的一个例子：圆锥曲线如椭圆上任意一点 P做相互垂直的直线交

圆锥曲线于 AB，则 AB 必过定点．（参考百度文库文章：“圆锥曲线的弦对

定点张直角的一组性质”）

◆模型拓展：本题还可以拓展为“手电筒”模型：只要任意一个限定 AP 与BP 条件（如定值

定值），直线 AB 依然会过定点（因为三条直线形似手电筒，固名曰手电筒模型）．

此模型解题步骤：[来源:学科网 ZXXK]

Step1：设AB 直线，联立曲线方程得根与系数关系，求出参数范围；

Step2：由AP 与BP 关系（如），得一次函数；

Step3：将代入，得．

例2、（切点弦恒过定点）有如下结论：“圆

x2+y2=r2

上一点

P(x0, y0)

处的切线方程为

x0y+y0y=r2

”，类比也有结论： “椭圆

a2+y2

b2=1(a>b>0)上一点 P(x0, y0)

处的切线方程为

x0x

a2+y0y

b2=1

”，过椭圆 C：

4+y2=1

的右准线 l上任意一点 M引椭圆 C的两条切线，切点为

A、B．

（1）求证：直线 AB 恒过一定点；

（2）当点 M在的纵坐标为 1时，求 △ABM 的面积．

◆方法点评：切点弦的性质虽然可以当结论用，但是在正式的考试过程中直接不能直接引用，可以用本题

的书写步骤替换之，大家注意过程．

例3、（相交弦过定点）如图，已知直线 L：的右焦点 F，

且交椭圆 C于A、B两点，点 A、B在直线上的射影依次为点 D、E．连接 AE、BD，试探索当

m变化时，直线 AE、BD 是否相交于一定点 N？若交于定点 N，请求出 N点的坐标，并给予证明；否则说

明理由．

)0(1:1 2

 ba

Cmyx 过椭圆

:G x a

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