专题3.8 欲证直线过定点，结合特征方程验-玩转压轴题，突破140分之高三数学解答题高端精品（2019版）（原卷版）

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专题 8 欲证直线过定点，结合特征方程验

【题型综述】

直线过定点的解题策略一般有以下几种：（1）如果题设条件没有给出这个定点，那么，我们可以这样思

考：由于这个定点对符合要求的一些特殊情况必然成立，那么我们根据特殊情况先找到这个定点，再证明

这个点与变量无关.(2)直接推理、计算，找出参数之间的关系，并在计算过程中消去部分参数，将直线方程

化为点斜式方程，从而得到定点.（3）若直线方程含多个参数并给出或能求出参数满足的方程，观察直线

方程特征与参数方程满足的方程的特征，即可找出直线所过顶点坐标，并带入直线方程进行检验 .注意到繁

难的代数运算是此类问题的特点，设而不求方法、整体思想和消元的思想的运用可有效地简化运算.

【典例指引】

类型一椭圆中直线过未知顶点问题

例1 【2017 课标 1，理 20】已知椭圆 C：（a>b>0），四点 P1（1,1），P2（0,1），P3（–1，

），P4（1，）中恰有三点在椭圆 C上.

（1）求 C的方程；

（2）设直线 l不经过 P2点且与 C相交于 A，B两点.若直线 P2A与直线 P2B的斜率的和为–1，证明：l过定

点.

【解析】

类型二椭圆中直线过已知定点问题

例2. 【2017 课标 II，理】设O为坐标原点，动点 M在椭圆 C：上，过 M作x轴的垂线，垂足

为N，点 P满足。

(1) 求点 P的轨迹方程；

(2)设点 Q在直线上，且，证明：过点 P且垂直于 OQ 的直线 l过C的左焦点 F。

【解析】

类型三点在定直线上问题

例3【2016 高考山东理数】平面直角坐标系中，椭圆 C： ^的离心率是，

抛物线 E：的焦点 F是C的一个顶点.

（I）求椭圆 C的方程；

（II）设 P是E上的动点，且位于第一象限，E在点 P处的切线与 C交与不同的两点 A，B，线段 AB 的中

点为 D，直线 OD 与过 P且垂直于 x轴的直线交于点 M.

（i）求证：点 M在定直线上;

（ii）直线与 y轴交于点 G，记的面积为，的面积为，求的最大值及取得最

大值时点 P的坐标.

【解析】

类型四抛物线中直线过定点问题

例4.【2013 年高考理科陕西卷】已知动圆过定点 A(4,0), 且在 y轴上截得的弦 MN 的长为 8.

(Ⅰ) 求动圆圆心的轨迹 C的方程; [来源:学#科#网Z#X#X#K]

(Ⅱ) 已知点 B(－1,0), 设不垂直于 x轴的直线 l与轨迹 C交于不同的两点 P, Q, 若x轴是的角平分线, 证

明直线 l过定点.

【解析】[来源:Z,xx,k.Com]

【扩展链接】

1. 对任意圆锥曲线，过其上任意一点作两条直线，若直线斜率之积为定值，两直线交圆锥曲线于

两点，则直线过定点.

2.已知为过抛物线 =的焦点的弦，，则 .

3.已知为过椭圆的焦点的弦，，则

4.已知直线，当变动时，直线恒过定点 .

【新题展示】

1．【2019 福建备考关键问题指导系列适应性练习】设为坐标原点，动圆过定点，且被轴截得

的弦长是 8．

（Ⅰ）求圆心的轨迹的方程；

（Ⅱ）设是轨迹上的动点，直线的倾斜角之和为，求证：直线过定点．

【思路引导】

（Ⅰ）设动圆圆心，由题设条件，利用圆中的特殊三角形，推导出点 P的轨迹方程；

（Ⅱ）设出直线 AB 的方程为，与联立，消元得到，利用韦达定理，

最后得到直线 AB 恒过定点．

2．【2019 河南郑州 1月质量预测】设点为圆上的动点，点在轴上的投影为，动点满足

，动点的轨迹为．

（Ⅰ）求的方程；

（Ⅱ）设的左顶点为，若直线与曲线交于两点，（，不是左右顶点），且满足

，求证：直线恒过定点，并求出该定点的坐标．

【思路引导】

（Ⅰ）设 P（x，y），M（x0，y0），由已知条件建立二者之间的关系，利用坐标转移法可得轨迹方程；

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