专题3.8 欲证直线过定点，结合特征方程验-玩转压轴题，突破140分之高三数学解答题高端精品（2019版）（解析版）

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专题 8 欲证直线过定点，结合特征方程验

【题型综述】

直线过定点的解题策略一般有以下几种：

（1）如果题设条件没有给出这个定点，那么，我们可以这样思考：由于这个定点对符合要求的一些

特殊情况必然成立，那么我们根据特殊情况先找到这个定点，再证明这个点与变量无关.

（2）直接推理、计算，找出参数之间的关系，并在计算过程中消去部分参数，将直线方程化为点斜

式方程，从而得到定点.

（3）若直线方程含多个参数并给出或能求出参数满足的方程，观察直线方程特征与参数方程满足的

方程的特征，即可找出直线所过顶点坐标，并带入直线方程进行检验.注意到繁难的代数运算是此类问题的

特点，设而不求方法、整体思想和消元的思想的运用可有效地简化运算.

【典例指引】

类型一椭圆中直线过未知顶点问题

例1 【2017 课标 1，理 20】已知椭圆 C：（a>b>0），四点 P1（1,1），P2（0,1），P3（–1，

），P4（1，）中恰有三点在椭圆 C上.

（1）求 C的方程；

（2）设直线 l不经过 P2点且与 C相交于 A，B两点.若直线 P2A与直线 P2B的斜率的和为–1，证明：l过定

点.

类型二椭圆中直线过已知定点问题

例2. 【2017 课标 II，理】设O为坐标原点，动点 M在椭圆 C：上，过 M作x轴的垂线，垂足

为N，点 P满足。

(1) 求点 P的轨迹方程；

(2)设点 Q在直线上，且，证明：过点 P且垂直于 OQ 的直线 l过C的左焦点 F。

【解析】(1)设出点 P的坐标，利用得到点 P与点,M 坐标之间的关系即可求得轨迹方程为

。学科&网

（2）由题意知。设 ,则

，

。

由得，又由（1）知，故

。学科&网

所以，即。又过点 P存在唯一直线垂直于 OQ，所以过点 P且垂直于 OQ 的直线过

C的左焦点 F。[来源:学_科_网]

类型三点在定直线上问题

例3【2016 高考山东理数】平面直角坐标系中，椭圆 C： v的离心率是，

抛物线 E：的焦点 F是C的一个顶点.

（I）求椭圆 C的方程；

（II）设 P是E上的动点，且位于第一象限，E在点 P处的切线与 C交与不同的两点 A，B，线段 AB 的中

点为 D，直线 OD 与过 P且垂直于 x轴的直线交于点 M.

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