专题3.7 三点共线证法多，斜率向量均可做-玩转压轴题，突破140分之高三数学解答题高端精品（2019版）（解析版）

3.0 envi 2025-05-06 18 4 1.09MB 30 页 3知币
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【 题型综述 】
三点共线问题证题策略一般有以下几种：①斜率法：若过任意两点的直线的斜率都存在，通过计算证明过
任意两点的直线的斜率相等证明三点共线；②距离法：计算出任意两点间的距离，若某两点间的距离等于
另外两个距离之和，则这三点共线；③向 量法：利用向量共线定理证明三点共线；④直线方程法：求出过
其中两点的直线方程，在证明第 3点也在该直线上;⑤点到直线的距离法：求出过其中某两点的直线方程，
计算出第三点到该直线的距离，若距离为 0，则三点共线.⑥面积法：通过计算求出以这三点为三角形的面
积，若面积为 0，则三点共线，在处理三点共线问题，离不开解析几何的重要思想：“设而不求思想”.
【典例指引】
类型一 向量法证三点共线
例1 （2012 北京理 19）（本小题共 14 分）已知曲线 :（ ）
(Ⅰ)若曲线 是焦点在 轴上的椭圆，求 的取值范围；
(Ⅱ)设=4，曲线 与 轴的交点为 ， （点 位于点 的上方），直线 与曲线交于不同的
两点 , ,直线 与直线 交于点 ，求证： ， ， 三点共线.
方程为： ，则 ，
， ，
欲证 三点共线，只需证 ， 共线
即 成立，化简得：
将①②代入易知等式成立 ，则 三点共线得证。学&科网
类型二 斜率法证三点共线
例2.（2017•上海模拟）已知抛物线 y2=4x 的焦点为 F，过焦点 F的直线 l交抛物线于 A、B两点，设 AB 的
中点为 M，A、B、M在准线上的射影依次为 C、D、N．
（1）求直线 FN 与直线 AB 的夹角 θ的大小；
（2）求证：点 B、O、C三点共线．
MB
62
M
M
kx
y x
x
 
31
6
M
M
x
Gkx
 
 
 
，
31
6
M
M
x
AG x k
 
 
 
 
 ，
 
2
N N
AN x x k 
 ，
A G N， ，
AG

AN
3( 2)
6
M
N N
M
xx k x
x k  
(3 ) 6( )
M N M N
k k x x x x  
A G N， ，
∵kOB==，y1y2= 4﹣，
∴kOB=kOC，∴点 B、O、C三点共线．学&科网
类型三 直线方程法证三点共线
例3（2017•贵阳二模）已知椭圆 C：=1（a＞0）的焦点在 x轴上，且椭圆 C的焦距为 2．
（Ⅰ）求椭圆 C的标准方程；
（Ⅱ）过点 R（4，0）的直线 l与椭圆 C交于两点 P，Q，过 P作PN⊥x轴且与椭圆 C交于另一点 N，F为
椭圆 C的右焦点，求证：三点 N，F，Q在同一条直线上．
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