专题3.5 参数范围与最值，不等建解不宜迟-玩转压轴题，突破140分之高三数学解答题高端精品（2019版）（解析版）

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【题型综述】

参数范围与最值问题解题策略一般有以下几种：

（1）几何法：若题目的条件和结论能明显体现几何特征和意义，则考虑利用图形性质构造含参数的不等

式，通过解不等式解出参数的范围和最值.

(2)代数法：在利用代数法解决范围问题时常从以下五个方面考虑：①利用判别式来构造不等关系，从而

确定参数的取值范围；

②利用已知参数的范围，求新参数的范围，解这类问题的核心是在两个参数之间建立等量关系；

③利用隐含或已知的不等关系建立不等式，从而求出参数的取值范围；

④利用基本不等式求出参数的取值范围；

⑤利用函数的值域的求法，确定参数的取值范围．

参数的范围问题，是解析几何中的一类常见问题，解决这类问题的关键是构造含参数的不等式，通过解不

等式求出参数的范围，韦达定理、曲线与方程的关系等在构造不等式中起着重要作用.学*科网

【典例指引】

类型一参数范围问题

例 1 【2016 高考江苏卷】（本小题满分 16 分）如图，在平面直角坐标系中，已知以为圆心的圆

及其上一点 .

（1）设圆与轴相切，与圆外切，且圆心在直线上，求圆的标准方程；

（2）设平行于的直线与圆相交于两点，且 ,求直线的方程；

（3）设点满足：存在圆上的两点和 ,使得 ,求实数的取值范围。

【解析】圆 M的标准方程为，所以圆心 M(6，7)，半径为 5,.

（1）由圆心在直线 x=6 上，可设 .因为 N与x轴相切，与圆 M外切，

所以，于是圆 N的半径为，从而，解得 .

因此，圆 N的标准方程为 .

(2)因为直线 l||OA，所以直线 l的斜率为 .

设直线 l的方程为 y=2x+m，即 2x-y+m=0，

则圆心 M到直线 l的距离

因为

而

所以，解得 m=5 或m=-15.

故直线 l的方程为 2x-y+5=0 或2x-y-15=0.

所以解得 .

因此，实数

t的取值范围是 .

类型二方程中参数范围问题

例 2.【2016 高考江苏卷】（本小题满分 10 分）

如图，在平面直角坐标系 xOy 中，已知直线，抛物线

（1）若直线 l过抛物线 C的焦点，求抛物线 C的方程；

（2）已知抛物线 C上存在关于直线 l对称的相异两点 P和Q.

①求证：线段 PQ 的中点坐标为；

②求 p的取值范围.

【解析】（1）抛物线的焦点为

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