专题3.4 目标范围与最值，函数处理最相宜-玩转压轴题，突破140分之高三数学解答题高端精品（2019版）（原卷版）

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【题型综述】

圆锥曲线中的目标取值范围与最值问题关键是选取合适的变量建立目标函数，转化函数的取

值范围与最值问题，其求解策略一般有以下几种：①几何法：若目标函数有明显几何特征和

意义，则考虑几何图形的性质求解；②代数法:若目标函数的几何意义不明显，利用基本不等

式、导数等方法求函数的值域或最值，注意变量的范围，在对目标函数求最值前，常要对函

数进行变换，注意变形技巧，若一个函数式的分母中含有一次式或二次式、分子中含有一次式或二次

式的二次根式，则可以通过换元的方法把其转化为分母为二次式、分子为一次式的函数式，这样便于求解

此函数式的最值.

【典例指引】

类型一角的最值问题

例 1 【2017 山东，理 21】在平面直角坐标系中，椭圆：的离心率为，焦

距为 .

（Ⅰ）求椭圆的方程；

（Ⅱ）如图，动直线：交椭圆于两点，是椭圆上一点，直线的斜率为，且

，是线段延长线上一点，且，的半径为，是的两

条切线，切点分别为 .求的最大值，并求取得最大值时直线的斜率.

xOy

2 2

x y

a b

 

 

0a b 

y k x 

,A B

1 2

k k 

: 2 : 3MC AB MC

,OS OT

,S T

SOT

【解析】

类型二距离的最值问题

例 2.【2017 浙江，21】（本题满分 15 分）如图，已知抛物线，点 A，，抛物线

上的点

P(x , y )(− 1

2<x<3

．过点 B作直线 AP 的垂线，垂足为 Q．

（Ⅰ）求直线 AP 斜率的取值范围；

（Ⅱ）求

|PA|⋅|PQ|

的最大值．

【解析】

类型三几何图形的面积的范围问题

例 3【2016 高考新课标 1卷】（本小题满分 12 分）设圆的圆心为 A,直线 l过点

B（1,0）且与 x轴不重合,l交圆 A于C,D两点,过B作AC 的平行线交 AD 于点 E.

（I）证明为定值,并写出点 E的轨迹方程；

（II）设点 E的轨迹为曲线 C1,直线 l交C1于M,N两点,过B且与 l垂直的直线与圆 A交于 P,Q两点,求四边形

MPNQ 面积的取值范围.学#科网

【解析】

类型四面积的最值问题

例 4.【2016 高考山东理数】（本小题满分 14 分）平面直角坐标系中，椭圆

：

€的离心率是，抛物线

：的焦点 F是C的一个顶点.

（I）求椭圆 C的方程；

（II）设 P是E上的动点，且位于第一象限，E在点 P处的切线与 C交与不同的两点 A，B，线段 AB 的中

点为 D，直线 OD 与过 P且垂直于 x轴的直线交于点 M.

（i）求证：点 M在定直线上;

（ii）直线与 y轴交于点 G，记的面积为，的面积为，求

的最大值及取得最大

值时点 P的坐标.

【解析】

【扩展链接】

1.过椭圆 (a＞0, b＞0)上任一点任意作两条倾斜角互补的直线交椭圆于 B,C 两点，

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