专题3.4 目标范围与最值，函数处理最相宜-玩转压轴题，突破140分之高三数学解答题高端精品（2019版）（解析版）

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【题型综述】

圆锥曲线中的目标取值范围与最值问题关键是选取合适的变量建立目标函数，转化函数的取

值范围与最值问题，其求解策略一般有以下几种：①几何法：若目标函数有明显几何特征和

意义，则考虑几何图形的性质求解；②代数法:若目标函数的几何意义不明显，利用基本不等

式、导数等方法求函数的值域或最值，注意变量的范围，在对目标函数求最值前，常要对函

数进行变换，注意变形技巧，若一个函数式的分母中含有一次式或二次式、分子中含有一次式或二次

式的二次根式，则可以通过换元的方法把其转化为分母为二次式、分子为一次式的函数式，这样便于求解

此函数式的最值.学@科网

【典例指引】

类型一角的最值问题

例 1 【2017 山东，理 21】在平面直角坐标系中，椭圆：的离心率为，焦

距为 .

（Ⅰ）求椭圆的方程；

（Ⅱ）如图，动直线：交椭圆于两点，是椭圆上一点，直线的斜率为，且

，是线段延长线上一点，且，的半径为，是的两

条切线，切点分别为 .求的最大值，并求取得最大值时直线的斜率.

xOy

2 2

x y

a b

 

 

0a b 

y k x 

,A B

1 2

k k 

: 2 : 3MC AB MC

,OS OT

,S T

SOT

【解析】（I）由题意知，，所以，

因此椭圆的方程为 .

（Ⅱ）设，联立方程

得，由题意知，且，

所以 .

由题意可知圆的半径为

由题设知，所以因此直线的方程为 .

因此，

 

2 2c

2, 1a b 

xy 

   

1 1 2 2

, , ,A x y B x y

y k x

 





 





 

2 2

1 1

4 2 4 3 1 0k x k x   

0 

 

1 2 1 2

2 3 1

2 1 2 2 1

x x x x

   



2 2

1 1

1 1 2 2

1 1 8

1 2 2 1

k k

AB k x x k

 

    

1 2

k k 



y x



2 2

3 3 1 3 1 1

2 2 2

1 1

2 1 1 1 9

2 4

OC t

rt t

t t t

   

   

    

 

 

当且仅当，即时等号成立，此时，所以，因此，

所以最大值为 .综上所述：的最大值为，取得最大值时直线的斜率为 .

类型二距离的最值问题

例 2.【2017 浙江，21】（本题满分 15 分）如图，已知抛物线，点 A，，抛物线

上的点

P(x , y )(− 1

2<x<3

．过点 B作直线 AP 的垂线，垂足为 Q．

（Ⅰ）求直线 AP 斜率的取值范围；

（Ⅱ）求

|PA|⋅|PQ|

的最大值．

【解析】（Ⅰ）设直线 AP 的斜率为 k，则

x2−1

x+1

=x−1

，∵ ，∴直线 AP 斜率的取值范

围是

(−1,1 )

．

1 1

2t

k 

sin 2 2

SOT

2 6

SOT





SOT



SOT



k 

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