专题3.3垂径定理-2020-2021学年九年级数学下册尖子生同步培优题典（解析版）【北师大版】

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2020-2021 学年九年级数学下册尖子生同步培优题典【北师大版】
专题 3.3 垂径定理
姓名：__________________ 班级：______________ 得分：_________________
注意事项：
本试卷满分 100 分，试题共 24 题，其中选择 10 道、填空 8 道、解答 6 道．答卷前，考生务必用 0.5 毫
米黑色签字笔将自己的姓名、班级等信息填写在试卷规定的位置．
一、选择题（本大题共 10 小题，每小题 3分，共 30 分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合
题目要求的．
1．（2019 秋•金平区期末）下列语句，错误的是（　　）
A．直径是弦
B．相等的圆心角所对的弧相等
C．弦的垂直平分线一定经过圆心
D．平分弧的半径垂直于弧所对的弦
【分析】根据圆心角、弧、弦的关系，垂径定理，圆的有关概念判断即可．
【解析】直径是弦，A正确，不符合题意；
在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，B错误，符合题意；
弦的垂直平分线一定经过圆心，C正确，不符合题意；
平分弧的半径垂直于弧所对的弦，D正确，不符合题意；
故选：B．
2．（2019 春•西湖区校级月考）如图，⊙O的直径 CD＝10，AB 是⊙O的弦，AB⊥CD 于M，且 DM：MC
＝4：1，则 AB 的长是（　　）
A．2 B．8 C．16 D．
❑
√
91
【分析】连接 OA，由直径 DC 与弦 AB 垂直，根据垂径定理得到 M为AB 的中点，要求 AB 只需求出 AM
即可，AM 放在直角三角形 AOM 中，先由 DC 的长及 DM 与MC 的比值，求出 DM 与MC 的长，且求出
半径 OD 及OA 的长，进而利用 DM﹣OD 求出 OM 的长，在直角三角形 AOM 中，由 OA 和OM 的长，
利用勾股定理求出 AM，最后利用 AB＝2AM 即可求出 AB 的长．
【解析】连接 OA，如图，
∵DC⊥AB，且 DC 为圆 O的直径，
∴M为AB 中点，即 AM＝BM
¿1
2
AB，
又∵CD＝10，DM：MC＝4：1，
∴DM
¿4
5
DC＝8，MC
¿1
5
DC＝2，且 OA＝OD＝5，
∴OM＝DM﹣OD＝8 5﹣＝3，
在Rt△AOM 中，根据勾股定理得：OA2＝OM2+AM2，
即AM
¿❑
√
OA 2−OM2=¿
4，
则AB＝2AM＝8．
故选：B．
3．（2019 秋•兴国县期末）如图，⊙O的弦 AB⊥OC，且 OD＝2DC，AB＝2
❑
√
5
，则⊙O的半径为（
　）
A．1 B．2 C．3 D．9
【分析】设 OD＝2a，则 CD＝a，OA＝3a，由垂径定理得出 AD＝BD
AB
¿❑
√
5
，在 Rt△ODA 中，由勾
股定理得出方程，求出方程的解即可．
【解析】设 OD＝2a，则 CD＝a，OA＝3a，
∵AB⊥OC，OC 为半径，
∴AD＝BD
¿1
2
AB
¿❑
√
5
，
在Rt△ODA 中，由勾股定理得：（3a）2＝（2a）2+（
❑
√
5
）2，
a＝1（负数舍去），
OA＝3×1＝3，
故选：C．
4．（2019 秋•天津期末）如图，已知 AB、AC 都是⊙O的弦，OM⊥AB，ON⊥AC，垂足分别为 M，N，若
MN
¿❑
√
5
，那么 BC 等于（　　）
A．5 B．
❑
√
5
C．2
❑
√
5
D．
❑
√
10
【分析】先根据垂径定理得出 M、N分别是 AB 与AC 的中点，故 MN 是△ABC 的中位线，由三角形的
中位线定理即可得出结论．
【解析】∵OM⊥AB，ON⊥AC，垂足分别为 M、N，
∴M、N分别是 AB 与AC 的中点，
∴MN 是△ABC 的中位线，
∴BC＝2MN＝2
❑
√
5
，
故选：C．
5．（2020•龙泉驿区模拟）如图，AB 是⊙O的直径，弦 CD⊥AB 于点 E，BE＝1cm，CD＝6cm，则 AE 为
（　　）cm．
A．4 B．9 C．5 D．8
【分析】设 OC＝OB＝xcm，在 Rt△OEC 中，利用勾股定理求解即可．
【解析】设 OC＝OB＝xcm，
∵AB⊥CD，AB 是直径，
∴EC＝DE＝3cm，
在Rt△OEC 中，∵OC2＝CE2+OE2，
∴x2＝32+（x1﹣）2，
∴x＝5，
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