专题3.3 图形面积求最值，函数值域正当时-玩转压轴题，突破140分之高三数学解答题高端精品（2019版）（解析版）

3.0 envi 2025-05-06 4 4 1.97MB 47 页 3知币

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【题型综述】

1、面积问题的解决策略：

（1）求三角形的面积需要寻底找高，需要两条线段的长度，为了简化运算，通常优先选择能用坐标直接

进行表示的底（或高）

（2）面积的拆分：不规则的多边形的面积通常考虑拆分为多个三角形的面积和，对于三角形如果底和高

不便于计算，则也可以考虑拆分成若干个易于计算的三角形

2、多个图形面积的关系的转化：关键词“求同存异”，寻找这些图形的底和高中是否存在“同底”或

“等高”的特点，从而可将面积的关系转化为线段的关系，使得计算得以简化

3、面积的最值问题：通常利用公式将面积转化为某个变量的函数，再求解函数的最值，在寻底找高的过

程中，优先选择长度为定值的线段参与运算。这样可以使函数解析式较为简单，便于分析

【典例指引】

例1已知椭圆（）的一个顶点为，离心率为，直线

（）与椭圆交于，两点，若存在关于过点的直线，使得点与点关于该直线对称．

（I）求椭圆的方程；

（II）求实数的取值范围；

（III）用表示的面积，并判断是否存在最大值.若存在，求出最大值；若不存在，说明理由．

，可得：

，则有：（），故

（III）法一（面积转化为弦长）：，到

的距离，，所以

，设，，则，所以在

上是减函数，所以面积无最大值．学&科网

法二（面积坐标化公式）：易得向量，，则有

，

因，在上均为减函数，则在上均为减函数，所以面积无

最大值．

可得的面积的取值范围为．

点评：（1）第二小问分为两个操作程序：①据对称性得到直线斜率与截距之间的关系；②据位

置关系构建直线斜率与截距之间的不等关系．点关于直线对称的转化为对称轴为垂直平分线，法

一进一步转化为等腰三角形，从而线段相等，利用两点距离公式进行坐标化，化简后得到交点坐标纵横坐

标之和及弦的斜率，故可以使用韦达定理整体代入．实际上所有使用韦达定理整体代入这个处理方式

的标准是题意韦达定理化：①条件与目标均能化为交点坐标和与积的形式；②横坐标纵坐标；

法二则点差法处理弦中点问题．均可得到直线的斜率与截距之间的关系．构建不等式的方式：法

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