专题3.2 函数单调性与奇偶性的综合（特色专题卷）（人教A版2019必修第一册）（解析版）-2021-2022学年高一数学特色专题卷

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专题 3.2 函数单调性与奇偶性的综合（特色专题卷）
考试时间：120 分钟；满分：150 分
姓名：___________班级：___________考号：___________
考卷信息：
本卷试题共 22 题，单选 8题，多选 4题，填空 4题，解答 6题，满分 150 分，限时 150 分钟，试卷紧扣教材，
细分题组，精选一年好题，两年真题，练基础，提能力！
一．选择题（共 8小题，满分 40 分，每小题 5分）
1．（2021•淄川区校级开学）下列函数中，既是奇函数又是增函数的为（　　）
A．y＝x|x| B．y＝﹣x3C．y＝x+1 D．y
¿1
x
【分析】对于选项 A，y＝x|x|
¿
{
x2，x ≥ 0
−x2，x＜0
，以此图象可进行判断；对于选项 BCD，根据图象判断即
可．
【解答】解：对于选项 A，y＝x|x|
¿
{
x2，x ≥ 0
−x2，x＜0
，由图象可得此函数既是奇函数又是单调增函数；
对于选项 B，是单调减函数，不符合题意；
对于选项 C，既不是奇函数又不是偶函数，不符合题意；
对于选项 D，不具有单调性，不符合题意．
故选：A．
2．（2021 秋•安徽月考）设函数
f(x)=1−2x
1+2x
，则下列函数中为奇函数的是（　　）
A．
y=f(x−1
2)−1
B．
y=f(x−1
2)+1
C．
y=f(x+1
2)−1
D．
【分析】利用代入法求出函数解析式，利用函数奇偶性的定义进行判断即可．
【解答】解：A.
y=f(x−1
2)−1=
1−2(x−1
2)
1+2(x−1
2)
−¿
1
¿1−2x+1
2x−¿
1
¿2−2x
2x−¿
1
¿1
x−¿
2，不是奇函数，
B.
y=f(x−1
2)+1=
1−2(x−1
2)
1+2(x−1
2)
+1=2−2x
2x+1=1
x
为奇函数，
C．y＝f（x
+1
2
）﹣1
¿
1−2(x+1
2)
1+2(x+1
2)
−¿
1
¿−2x
2+2x−¿
1
¿−x
1+x−¿
1，定义域为{x|x≠ 1}﹣，定义域关于原点
不对称，不是奇函数，
D．y＝f（x
+1
2
）+1
¿
1−2(x+1
2)
1+2(x+1
2)
+¿
1
¿−2x
2+2x+¿
1
¿−x
1+x∓¿
，定义域为{x|x≠ 1}﹣，定义域关于原点不对
称，不是奇函数，
故选：B．
3．（2021•重庆开学）已知函数 f（x）＝ax5+bx3+2，若 f（2）＝7，则 f（﹣2）＝（　　）
A．﹣7 B．﹣3 C．3 D．7
【分析】由函数 f（x）＝ax5+bx3+2 且f（2）＝7可求得 32a+8b的值，然后可求得 f（﹣2）的值．
【解答】解：由函数 f（x）＝ax5+bx3+2 且f（2）＝7，
得32a+8b＝5，
∴f（﹣2）＝﹣（32a+8b）+2＝﹣5+2＝﹣3，
故选：B．
4．（2020 秋•龙里县校级期末）已知 f（x）是定义在 R上的奇函数，且当 x≤0 时，f（x）＝x2+3x+1﹣a，
则f（2）＝（　　）
A．﹣1 B．﹣2 C．1 D．2
【分析】f（x）是定义在 R上的奇函数⇒f（0）＝1﹣a＝0，解得 a＝1，从而可得当 x≤0 时，f（x）的解
析式，由 f（2）＝﹣f（﹣2）可得答案．
【解答】解：∵f（x）是定义在 R上的奇函数，
∴f（0）＝1﹣a＝0，
∴a＝1．
又当 x≤0 时，f（x）＝x2+3x+1﹣a，
∴f（x）＝x2+3x（x≤0），
∴f（2）＝﹣f（﹣2）＝﹣（4 6﹣）＝2，
故选：D．
5．（2021•辽宁开学）已知 f（x）是定义域为 R的奇函数，当 x＞0时，f（x）＝x22﹣x3﹣，则不等式
f（x+2）＜0的解集是（　　）
A．（﹣5，﹣2）∪（﹣2，1）B．（﹣∞，﹣5）∪（﹣2，1）
C．（﹣5，﹣2）∪（1，+∞）D．（﹣∞，﹣1）∪（2，5）
【分析】根据函数奇偶性的性质，求出函数当 x＜0时，函数的表达式，从而可得 f（x）在 R上的解析
式，分类讨论即可解不等式．
【解答】解：若 x＜0，则﹣x＞0，
∵当 x＞0时，f（x）＝x22﹣x3﹣，
∴f（﹣x）＝x2+2x3﹣，
∵f（x）是定义域为 R的奇函数，
∴f（﹣x）＝x2+2x3﹣＝﹣f（x），
即f（x）＝﹣x22﹣x+3，x＜0，
又f（x）是定义域为 R的奇函数，∴f（0）＝0，
∴f（x）
¿
{
−x2−2x+3，x＜0
0，x=0
x2−2x−3，x＞0
．
①若x+2＜0，即 x＜﹣2，
由f（x+2）＜0得﹣（x+2）22﹣（x+2）+3＜0，
解得 x＜﹣5或x＞﹣1，
此时 x＜﹣5；
②若x+2＝0，即 x＝﹣2，
由f（x+2）＜0得0＜0，不成立；
若x+2＞0，即 x＞﹣2，
由f（x+2）＜0得（x+2）22﹣（x+2）﹣3＜0，
解得﹣3＜x＜1，此时﹣2＜x＜1．
综上，不等式的解集为（﹣∞，﹣5）∪（﹣2，1）．
故选：B．
6．（2020 秋•徐汇区校级期末）已知函数 y＝f（x）的定义域为 R，有下面三个命题，
命题 p：存在 a∈R且a≠0，对任意的 x∈R，均有 f（x+a）＜f（x）+f（a）恒成立，
命题 q1：y＝f（x）在 R上是严格减函数，且 f（x）＞0恒成立；
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