专题3.2 动点轨迹成曲线，坐标关系是关键-玩转压轴题，突破140分之高三数学解答题高端精品（2019版）（原卷版）

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专题 2 动点轨迹成曲线，坐标关系是关键

【题型综述】

1.动点轨迹问题解题策略一般有以下几种：

（1）直译法：一般步骤为：①建系,建立适当的坐标系；②设点,设轨迹上的任一点 P(x，y)；③列式,列出

动点 P所满足的关系式；④代换,依条件式的特点，选用距离公式、斜率公式等将其转化为 x，y的方程式，

并化简；⑤证明,证明所求方程即为符合条件的动点轨迹方程.

(2)定义法：先根据条件得出动点的轨迹是某种已知曲线，再由曲线的定义直接写出动点的轨迹方程；

(3)代入法(相关点法)：动点 P(x，y)依赖于另一动点 Q(x0

，

y0)的变化而变化，并且 Q(x0

，

y0)又在某已知曲线

上，则可先用 x，y的代数式表示 x0，y0，再将 x0，y0代入已知曲线得要求的轨迹方程；

(4)参数法：当动点 P(x，y)坐标之间的关系不易直接找到，也没有相关动点可用时，可考虑将 x，y均用一

中间变量(参数)表示，得参数方程，再消去参数得普通方程．

2.解轨迹问题注意：

（1）求点的轨迹与求轨迹方程是不同的要求，求轨迹时，应先求轨迹方程，然后根据方程说明轨迹的形

状、位置、大小等.

（2）要验证曲线上的点是否都满足方程，以方程解为坐标点是否都在曲线上，补上在曲线上而不满足方

程解得点，去掉满足方程的解而不再曲线上的点.

【典例指引】

类型一代点法求轨迹方程

例1 【2017 课标 II，理】设O为坐标原点，动点 M在椭圆 C：上，过 M作x轴的垂线，垂足

为N，点 P满足。

(1) 求点 P的轨迹方程；

(2)设点 Q在直线上，且。证明：过点 P且垂直于 OQ 的直线 l过C的左焦点 F。

【解析】

类型二定义法求轨迹方程

例2.【201 6 高考新课标 1卷】设圆的圆心为 A,直线 l过点 B（1,0）且与 x轴不重合,l

交圆 A于C,D两点,过B作AC 的平行线交 AD 于点 E.

（I）证明为定值,并写出点 E的轨迹方程；

（II）设点 E的轨迹为曲线 C1,直线 l交C1于M,N两点,过B且与 l垂直的直线与圆 A交于 P,Q两点,求四边形

MPNQ 面积的取值范围.

【解析】

类型三参数法求轨迹方程

例3[2016 高考新课标Ⅲ文数]已知抛物线：的焦点为，平行于轴的两条直线分别交

于两点，交的准线于两点．

（I）若在线段上，是的中点，证明；

（II）若的面积是的面积的两倍，求中点的轨迹方程.

【解析】

类型四直译法求轨迹方程

例4. 已知动圆过点，且在轴上截得的弦长为

（Ⅰ）求圆心的轨迹方程；

（Ⅱ）过点的直线交轨迹于两点，证明：为定值，并求

出这个定值.

【解析】

点睛：定点、定值问题通常是通过设参数或取特殊值来确定“定点”是什么、“定值”是多少，或者将

该问题涉及的几何式转化为代数式或三角问题，证明该式是恒定的. 定点、定值问题同证明问题类似，在

求定点、定值之前已知该值的结果，因此求解时应设参数，运用推理，到最后必定参数统消，定点、定值

显现.

【扩展链接】

1.若一个圆内含于另一个圆，则与大圆内切与小圆外切的圆的圆心的轨迹为一椭圆，两圆的圆心为

焦点，其长轴长为两圆半径之和；

2.在一个圆内有一点，则过该点且与已知圆相切的圆的圆心的点的轨迹为一椭圆，且其长轴长为已知圆的

半径。

⒊过两点的两条直线的斜率之积为一负常数的点的轨迹为一椭圆（两点除外）。两定点为椭圆的顶点，

两定点间的距离为长轴长。（时，焦点在 x轴上；当时，焦点在 y轴上）

⒋将圆的横坐标（或纵坐标）拉伸或缩短为原来的倍，该圆变成椭圆；

⒌连接圆内一定点与圆上任一点的线段的垂直平分线与圆上该点到圆心的连线的交点的轨迹为一椭圆。方

椭圆的长半轴与圆的半径长相等；

⒍两个同心圆较大圆上任一点与圆心的连线与小圆交于一点，从大圆上该点作 x轴的垂线，则过小圆交点

向该垂线作垂线，其垂足的点的轨迹为椭圆。

【新题展示】

1．【2019 河南郑州一模（节选）】设点为圆上的动点，点在轴上的投影为，动点满足

，动点的轨迹为．

（Ⅰ）求的方程；

【思路引导】

（Ⅰ）设 P（x，y），M（x0，y0），由已知条件建立二者之间的关系，利用坐标转移法可得轨迹方程；

2．【2019 四川绵阳二诊】己知椭圆 C：的左右焦点分别为 F1，F2，直线 l：y＝kx+m 与椭圆 C交

于A，B两点．O为坐标原点．

（1）若直线 l过点 F1，且｜AF2｜十｜BF2 ｜＝，求直线 l的方程；

（2）若以 AB 为直径的圆过点 O，点 P是线段 AB 上的点，满足 OP⊥AB，求点 P的轨迹方程．

【思路引导】

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