专题3.2 动点轨迹成曲线，坐标关系是关键-玩转压轴题，突破140分之高三数学解答题高端精品（2019版）（解析版）

3.0 envi 2025-05-06 11 4 1.27MB 31 页 3知币
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【 题型综述 】
1.动点轨迹问题解题策略一般有以下几种：
（1）直译法：一般步骤为：①建系,建立适当的坐标系；②设点,设轨迹上的任一点 P(x，y)；③列式,列出
动点 P所 满足的关系式；④代换,依条件式的特点，选用距离公式、斜率公式等将其转化为 x，y的方程式，
并化简；⑤证明,证明所求方程即为符合条件的动点轨迹方程.
(2)定义法：先根据条件得出动点的轨迹是某种已知曲线，再由曲线的定义直接写 出动点的轨迹方程；
(3)代入法(相关点法)：动点 P(x，y)依赖于另一动点 Q(x0
，
y0)的变化而变化，并且 Q(x0
，
y0)又在某已知曲线
上，则可先用 x，y的代数式表示 x0，y0，再将 x0，y0代入已知曲线得要求的轨迹方程；
(4)参数法：当动点 P(x，y)坐标之间的关系不易直接找到，也没有相关动点可用时，可考虑将 x，y均用一
中间变量(参数)表示，得参数方程，再消去参数得普通方程．
2.解轨迹问题注意：
（1）求点的轨迹与求轨迹方程是不同的要求，求轨迹时，应先求轨迹方程，然后根据方程说明轨迹的形
状、位置、大小等.
（2）要验证曲线上的点是否都满足方程，以方程解为坐标点是否都在曲线上，补上在曲线上而不满足方
程解得点，去掉满足方程的解而不再曲线上的点.
【典例指引】
类型一 代点法求轨迹方程
例1 【2017 课标 II，理】设O为坐标原点，动点 M在椭圆 C： 上，过 M作x轴的垂线，垂足
为N，点 P满足 。
(1) 求点 P的轨迹方程；
(2)设点 Q在直线 上，且 。证明：过点 P且垂直于 OQ 的直线 l过C的左焦点 F。
因此点 P的轨迹方程为 。
（2）由题意知 。设 ,则
，
。
由 得 ， 又由（1）知 ，故
。
所以 ，即 。又过点 P存在唯一直线垂直于 OQ，所以过点 P且垂直于 OQ 的直线 过
C的左焦点 F。学科&网
类型二 定义法求轨迹方程
例2.【2016 高考新课标 1卷】设圆 的圆心为 A,直线 l过点 B（1,0）且与 x轴 不重合,l
交圆 A于C,D两点,过B作AC 的平行线交 AD 于点 E.
（I）证明 为定值,并写出点 E的轨迹方程；
（II）设点 E的轨迹为曲线 C1,直线 l交C1于M,N两点,过B且与 l垂直的直线与圆 A交于 P,Q两点,求四边形
MPNQ 面积的取值范围.
则
x1+x2=8k2
4k2+3
,
x1x2=4k2−12
4k2+3
.
所以
|MN|=
√
1+k2|x1−x2|=12(k2+1)
4k2+3
.
过点
B(1,0)
且与
l
垂直的直线
：
y=− 1
k(x−1)
,
A
到
m
的距离为
2
√
k2+1
,所以
|PQ|=2
√
42−( 2
√
k2+1)2=4
√
4k2+3
k2+1
.故四边形
MPNQ
的面积
S=1
2|MN||PQ|=12
√
1+1
4k2+3
.
可得当
l
与
x
轴不垂直时,四边形
MPNQ
面积的取值范围为
[12 ,8
√
3)
.
当
l
与
x
轴垂直时,其方程为
x=1
,
|MN|=3
,
|PQ|=8
,四边形
MPNQ
的面积为 12.
综上,四边形
MPNQ
面积的取值范围为
[12 ,8
√
3)
.学科&网
类型三 参数法求轨迹方程
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