专题3.1 待定系数求方程，几何转至代数中-玩转压轴题，突破140分之高三数学解答题高端精品（2019版）（原卷版）

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专题 1 待定系数求方程，几何转至代数中

【题型综述】

　　求圆锥曲线方程的策略一般有以下几种：①几何分析法＋方程思想；②设而不求＋韦达定理；③第二

定义＋数形结合；④参数法＋方程思想。几何分析法，利用图形结合圆锥曲线的定义与几何性质，分析图

中已知量与未知量之间的关系，列出关于方程中参数的方程，解出参数值即可得到圆锥曲线方程，要求平

面几何中相似等数学知识必须十分熟练。设而不求、韦达定理是解圆锥曲线问题的通性通法，缺点是计算

量较大，费时费力，容易出错，通常根据题设条件，设出点的坐标和直线方程，将直线方程代入曲线方程，

化为关于的一元二次方程，利用韦达定理用参数表示出来，根据题中条件列出关于参数的方程，通过解

方程解出参数值，即可得出圆锥曲线的方程。不管是哪种方法，最终都要列出关于圆锥曲线方程中的参数

的方程问题，通过解方程解出参数值，即可得到圆锥曲线方程，故将利用平面几何知识和圆锥曲线的定义

与性质是将几何问题转化为代数问题，简化解析几何计算的重要途径.

【典例指引】

类型一待定系数法求椭圆方程

例1 【2014 年全国课标Ⅱ，理 20】设 ,分别是椭圆的左右焦点，M是C上一

点且与 x轴垂直，直线与 C的另一个交点为 N.

（Ⅰ）若直线 MN 的斜率为，求 C的离心率；

（Ⅱ）若直线 MN 在y轴上的截距为 2，且，求 a,b.

类型 2 参数法求椭圆方程

例2.【2015 高考安徽，理 20】设椭圆 E的方程为，点 O为坐标原点，点 A的坐标

为，点 B的坐标为，点 M在线段 AB 上，满足，直线 OM 的斜率为 .

（I）求 E的离心率 e；

（II）设点 C的坐标为，N为线段 AC 的中点，点 N关于直线 AB 的对称点的纵坐标为，求

E的方程.

类型 3 设而不求思想与韦达定理求抛物线方程

例3【2013 年高考数学湖南卷】过抛物线的焦点 F作斜率分别为的两条不同的

直线，且，相交于点 A，B，相交于点 C，D.以AB，CD 为直径的圆 M，圆

N（M，N为圆心）的公共弦所在的直线记为 .

（I）若，证明；；

（II）若点 M到直线的距离的最小值为，求抛物线 E的方程.

类型 4 待定系数法求抛物线方程

例4 （2012 全国课标理 20 ）.设抛物线：（＞0）的焦点为，准线为，为上一点，

已知以为圆心，为半径的圆交于 ,两点.

(Ⅰ)若,的面积为，求的值及圆的方程；

(Ⅱ)若，，三点在同一条直线上，直线与平行，且与只有一个公共点，求坐标原点到

，距离的比值.

【扩展链接】

1. 焦点三角形面积公式：圆锥曲线的左右焦点分别为 F1，F 2，点 P为曲线上任意一点，

（1）若P在椭圆上，则椭圆的焦点角形的面积为 .

（2）若P在双曲线上，则双曲线的焦点角形的面积为 .

2.椭圆（a＞b＞0）的焦半径公式：

, ( , ).

【新题展示】

1．【2019 四川绵阳二诊（节选）】己知椭圆 C：的左右焦点分别为 F1，F2，直线 l：y＝kx+m 与

椭圆 C交于 A，B两点．O为坐标原点．

（1）若直线 l过点 F1，且｜AF2｜十｜BF2 ｜＝，求直线 l的方程；

【思路引导】

（1）设 A(x1，y1)，B(x2，y2)．联立整理得(1+2k2)x2+8k2x+8k2-8=0．根据弦长公式|AB|=

，代入整理得，解得．得到直线 l的方程．

2．【2019 广东省模（节选）】已知点，都在椭圆：上．

（1）求椭圆的方程；

【思路引导】

（1）把点，代入椭圆方程，得即可；

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