专题3.1 待定系数求方程，几何转至代数中-玩转压轴题，突破140分之高三数学解答题高端精品（2019版）（解析版）

3.0 envi 2025-05-06 13 4 1016.95KB 28 页 3知币

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　　求圆锥曲线方程的策略一般有以下几种：①几何分析法＋方程思想；②设而不求＋韦达定理；③第二

定义＋数形结合；④参数法＋方程思想。几何分析法，利用图形结合圆锥曲线的定义与几何性质，分析图

中已知量与未知量之间的关系，列出关于方程中参数的方程，解出参数值即可得到圆锥曲线方程，要求平

面几何中相似等数学知识必须十分熟练。设而不求、韦达定理是解圆锥曲线问　题的通性通法，缺点是计

算量较大，费时费力，容易出错，通常根据题设条件，设出点的坐标和直线方程，将直线方程代入曲线方

程，化为关于的一元二次方程，利用韦达定理用参数表示出来，根据题中条件列出关于参数的方程，通

过解方程解出参数值，即可得出圆锥曲线的方程。不管是哪种方法，最终都要列出关于圆锥曲线方程中的

参数的方程问题，通过解方程解出参数值，即可得到圆锥曲线方程，故将利用平面几何知识和圆锥曲线的

定义与性质是将几何问题转化为代数问题，简化解析几何计算的重要途径.

【典例指引】

类型一待定系数法求椭圆方程

例1 【2014 年全国课标Ⅱ，理 20】设 ,分别是椭圆的左右焦点，M是C上一

点且与 x轴垂直，直线与 C的另一个交点为 N.

（Ⅰ）若直线 MN 的斜率为，求 C的离心率；

（Ⅱ）若直线 MN 在y轴上的截距为 2，且，求 a,b.

【解析】（Ⅰ）由题意得：，，∵ 的斜率为

∴ ，又，解之：或（舍）

故直线的斜率为时，的离心率为 .

（Ⅱ）（几何分析法）依据题意，原点为的中点，轴，

∴ 与轴的交点是线段的中点，

∴=，即，①

∵ ，∴ ，

过作轴于，则 ∽ ，

∴ ，∴ ，

设，则，

∴=，

∴ ，②

①②联立解得， .

类型 2 参数法求椭圆方程

例2.【2015 高考安徽，理 20】设椭圆 E的方程为，点 O为坐标原点，点 A的坐标

为，点 B的坐标为，点 M在线段 AB 上，满足，直线 OM 的斜率为 .

（I）求 E的离心率 e；

（II）设点 C的坐标为，N为线段 AC 的中点，点 N关于直线 AB 的对称点的纵坐标为，求

E的方程.

【解析】（I）由题设条件知，点的坐标为，又，从而，进而得

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