专题3 复数-【满分冲刺】2021-2022学年高一数学下学期期末必考重点题型技法突破（人教A版2019必修第二册）（原卷版）

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复数

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★★★★★★知识回顾★★★★★★

1．复数的有关概念

(1)复数的概念：

形如 a＋bi(a，b∈R)的数叫复数，其中 a，b分别是它的实部和虚部．若 b＝0，则 a＋bi为

实数；若 b≠0，则 a＋bi为虚数；若

a ＝ 0

且

b ≠0 ，则

a ＋ b i

为纯虚数．

一个复数为纯虚数，不仅要求实部为 0，还需要求虚部不为 0.

(2)复数相等：a＋bi＝c＋di⇔a ＝ c

且

b ＝ d (a，b，c，d∈R)．

(3)共轭复数：a＋bi与c＋di共轭⇔a ＝ c ， b ＝－ d (a，b，c，d∈R)．

(4)复数的模：

向量的模 r叫做复数 z＝a＋bi(a，b∈R)的模，记作|z|或|a＋bi|，即|z|＝|a＋bi|＝.

2．复数的几何意义

(1)复数 z＝a＋bi复平面内的点 Z(a，b)(a，b∈R)．

(2)复数 z＝a＋bi(a，b∈R) 平面向量.

3．复数的运算

(1)复数的加、减、乘、除运算法则

设z1＝a＋bi，z2＝c＋di(a，b，c，d∈R)，则

①加法：z1＋z2＝(a＋bi)＋(c＋di)＝( a ＋ c ) ＋ ( b ＋ d )i ；

②减法：z1－z2＝(a＋bi)－(c＋di)＝( a － c ) ＋ ( b － d )i ；

③乘法：z1·z2＝(a＋bi)·(c＋di)＝( ac － bd ) ＋ ( ad ＋ bc )i ；

④除法：＝＝＝＋ i (c＋di≠0)．

(2)复数加法的运算定律

设z1，z2，z3∈C，则复数加法满足以下运算律：

①交换律：z1＋z2＝z2＋ z 1；

②结合律：(z1＋z2)＋z3＝z1＋ ( z 2＋ z 3) ．

[常用结论]

(1)(1±i)2＝±2i，＝i，＝－i.

(2)－b＋ai＝i(a＋bi)．

(3)i4n＝1，i4n＋1＝i，i4n＋2＝－1，i4n＋3＝－i(n∈N*)；

i4n＋i4n＋1＋i4n＋2＋i4n＋3＝0(n∈N*)．

(4)z·＝|z|2＝||2，|z1·z2|＝|z1|·|z2|，＝，|zn|＝|z|n.

★★★★★★掌握题型★★★★★★

考点一复数有关的概念

1．已知复数 z＝＋的实部与虚部的和为 2，则实数 a的值为(　　)

A．0　　　　　　　　　　 B．1

C．2 D．3

易知 z＝＋＝＋＝＋，由题意得＋＝2，解得 a＝3.故选 D.

2．已知＝2＋i，则(z的共轭复数)为(　　)

A．－3－i B．－3＋i

C．3＋i D．3－i

3．已知 i为虚数单位，复数 z＝，则|z|＝________.

【方法技巧】解决复数概念问题的方法及注意事项

(1)求一个复数的实部与虚部，只需将已知的复数化为代数形式 z＝a＋bi(a，b∈R)，则该复

数的实部为 a，虚部为 b.

(2)求一个复数的共轭复数，只需将此复数整理成标准的代数形式，实部不变，虚部变为相

反数，即得原复数的共轭复数．复数 z1＝a＋bi与z2＝c＋di共轭 ⇔a＝c，b＝－

d(a，b，c，d∈R)．

考点二复数的运算

1．(2019·全国卷Ⅲ)若z(1＋i)＝2i，则 z＝(　　)

A．－1－i B．－1＋i

C．1－i D．1＋i

2．(2022·合肥质检)已知 i为虚数单位，则＝(　　)

A．5 B．5i

C．－－i D．－＋i

＝＝5，故选 A.

3．(2022·惠州模拟)已知复数 z的共轭复数为，若(1－i)＝2i(i 为虚数单位)，则 z＝(　　)

A．i B．－1＋i

C．－1－i D．－i

由已知可得＝＝＝－1＋i，则 z＝－1－i，故选 C.

4．设 z＝＋2i，则|z|＝(　　)

A．0 B．

C．1 D.

∵z＝＋2i＝＋2i＝＋2i＝i，∴|z|＝1.故选 C.

【方法技巧】

复数代数形式运算问题的解题策略

复数的

加减法

在进行复数的加减法运算时，可类比合并同类项，运用法则 (实部与实部相加

减，虚部与虚部相加减)计算即可

复数的

乘法

复数的乘法类似于多项式的四则运算，可将含有虚数单位 i的看作一类同类项，

不含 i的看作另一类同类项，分别合并即可

复数的

除法

除法的关键是分子分母同乘以分母的共轭复数，解题中要注意把 i的幂写成最简

形式

考点三复数的集合意义

1．设 z＝－3＋2i，则在复平面内　对应的点位于(　　)

A．第一象限 B．第二象限

C．第三象限 D．第四象限

2．设复数 z满足|z－i|＝1，z在复平面内对应的点为(x，y)，则(　　)

A．(x＋1)2＋y2＝1 B．(x－1)2＋y2＝1

C．x2＋(y－1)2＝1 D．x2＋(y＋1)2＝1

3．设(1－i)x＝1＋yi，其中 x，y是实数，则 x＋yi在复平面内所对应的点位于(　　)

A．第一象限 B．第二象限

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