专题3 单变量存在恒成立与存在性问题-【高分突破系列】2021-2022学年高二数学下学期同步知识点剖析精品讲义(人教A版2019选择性必修第二、三册)(解析版)

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单变量恒成立与存在性问题
恒成立问题、存在性问题归根到底是最值问题.
1 恒成立问题
(1)∀x∈D , f
(
x
)
≥0
恒成立
⟺
在
D
上的
f
(
x
)
min ≥0
；
(2)∀x∈D , f
(
x
)
≤0
恒成立
⟺
在
D
上的
f
(
x
)
max ≤0
；
2 存在性问题
(1)∃x∈D , f
(
x
)
≥0
恒成立
⟺
在
上的
f
(
x
)
max ≥0
；
(2)∃x∈D, f
(
x
)
≤0
恒成立
⟺
在
上的
f
(
x
)
min ≤0
；
3常见处理方法
方法 1 直接构造函数法：求
f
(
x
)
≥ g (x)
恒成立
⇔h
(
x
)
=f
(
x
)
−g
(
x
)
≥0
恒成立.
方法 2 分离参数法：求
f
(
x
)
≥ a∙ g(x)
¿
其中
g
(
x
)
>0¿
恒成立
⇔a ≤ f
(
x
)
g
(
x
)
恒成立.
方法 3 变更主元：题型特征(已知谁的范围把谁作为主元)；
方法 4 数形结合法：求
f
(
x
)
−g
(
x
)
≥0
恒成立
⇔
证明
y=f(x)
在
y=g(x)
的上方；
方法 5 同构法：对不等式进行变形，使得不等式左右两边式子的结构一致，再通过构造的函数单调性进行
求解；
方法 6 放缩法：利用常见的不等式或切线放缩或三角函数有界性等手段对所求不等式逐步放缩达到证明所
求不等式恒成立的目的；
学习各种方法时，要注意理解它们各自之间的优劣性，有了比较才能快速判断某种题境中采取哪种方法较
简洁，建议学习时一题多解，多发散思考.
方法 1 直接构造函数法与分离参数法
以下通过几题让大家感觉下直接构造函数法与分离参数法的优劣性！
【典题 1】 若
alnx+1
2x2−
(
1+a
)
x ≥ 0
恒成立，求
a
的取值范围.
【解析】方法一 分离参数法
alnx+1
2x2−
(
1+a
)
x ≥ 0⇔a
(
lnx−x
)
≥ x−1
2x2
，
而
∵lnx−x<0(x>0)
这不难证明，
(确认
lnx−x
正负，它会影响不等号方向是否改变，若不确定要分类讨论)
∴ ∀ x>0, a ≤
x−1
2x2
lnx−x
恒成立，设
f
(
x
)
=
x−1
2x2
lnx−x
(分离参数成功，只需求
fmin
的最小值)
f '
(
x
)
=(x−1)(x+2−2lnx)
2
(
lnx−x
)
2
，
(分析
f(x)
单调性
⇒
分析
y=(x−1)(x+2−2lnx)
正负性
⇒
分析
x+2−2lnx
的正负性)
令
h
(
x
)
=x+2−2lnx
，则
h '
(
x
)
=1−2
x=x−2
x
，
当
0<x<2
时，
h '
(
x
)
<0
，
h
(
x
)
递减；当
x>2
时，
h '
(
x
)
>0
，
h
(
x
)
递增；
∴h
(
x
)
在
x=2
处取到最小值
h
(
2
)
=4−2 ln 2>0
，即
h
(
x
)
≥ h
(
2
)
>0
.
∴x+2−2lnx>0
.
(则
y=(x−1)(x+2−2lnx)
的正负性就由
y=x−1
确定)
那当
0<x<1
时，
f '
(
x
)
<0
，
f(x)
递减；当
x>1
时，
f '
(
x
)
>0
，
f(x)
递增；
∴f
(
x
)
≥ f
(
1
)
=−1
2
，
∴a ≤−1
2
.
方法二：直接构造函数法
令
g
(
x
)
=alnx+1
2x2−
(
1+a
)
x
，定义域是
(0,+∞)
，
(问题可以转化为求
gmin
)
g '
(
x
)
=a
x+x−
(
1+a
)
=x2−
(
1+a
)
x+a
x=
(
x−1
) (
x−a
)
x
，
若
a<0
时，
当
0<x<1
时，
g '
(
x
)
<0
，
g(x)
递减；当
x>1
时，
g '
(
x
)
>0
，
g(x)
递增；
即
g
(
x
)
min=g
(
1
)
=−a−1
2
，
若
alnx+1
2x2−
(
1+a
)
x ≥ 0
恒成立，则
−a−1
2≥0
，解得
a ≤−1
2
，
∴a ≤−1
2
，
若
a>0
时，
g
(
1
)
=−a−1
2<0
，那
alnx+1
2x2−
(
1+a
)
x ≥ 0
不可能恒成立的；
综上
a ≤−1
2
.
【点拨】
方法一分类参数法，把问题转化为不含参函数的最值问题，是大家乐见的.但注意点有二，其一
lnx−x<0
的证明，它的正负确定不等号方向要变号，若不确定要分类讨论运算量也不小；其二分离后得到
f
(
x
)
=
x−1
2x2
lnx−x
，挺复杂的函数，故分离参数后得到函数比较复杂的(求导难、要多次求导等)，可考虑下是
否使用分离参数法；
方法二直接构造函数法，它的问题在于函数含参，意味着大多数情况要分类讨论，这是大家头疼之处.本
题属于导函数是“二次函数”型，研究单调性时的分类讨论略显麻烦，但“若
a>0
时，
f
(
1
)
=−a−1
2<0
”
这点若看到，避免陷入较大运算量了.
【典题 2】已知函数
f
(
x
)
=ex−ax−1
．
(1)当
a=1
时，求
f(x)
的极值；
(2)若
f(x)≥ x2
在
¿
上恒成立，求实数
a
的取值范围．
【解析】(1)过程略，函数
f(x)
有极小值
f(0)=0
，无极大值；
(2)方法一 分类参数法
因为
f(x)≥ x2
在
¿
上恒成立，
所以
ex−x2−ax －1≥0
在
¿
上恒成立，
当
x=0
时，
0≥0
恒成立，此时
a∈R
，
当
x>0
时，
a ≤ ex−x2−1
x
在
(0,+∞)
上恒成立，
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