专题3 单变量存在恒成立与存在性问题-【高分突破系列】2021-2022学年高二数学下学期同步知识点剖析精品讲义(人教A版2019选择性必修第二、三册) (原卷版)

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单变量恒成立与存在性问题
恒成立问题、存在性问题归根到底是最值问题.
1 恒成立问题
(1)∀x∈D , f
(
x
)
≥0
恒成立
⟺
在
D
上的
f
(
x
)
min ≥0
；
(2)∀x∈D , f
(
x
)
≤0
恒成立
⟺
在
D
上的
f
(
x
)
max ≤0
；
2 存在性问题
(1)∃x∈D , f
(
x
)
≥0
恒成立
⟺
在
上的
f
(
x
)
max ≥0
；
(2)∃x∈D, f
(
x
)
≤0
恒成立
⟺
在
上的
f
(
x
)
min ≤0
；
3常见处理方法
方法 1 直接构造函数法：求
f
(
x
)
≥ g (x)
恒成立
⇔h
(
x
)
=f
(
x
)
−g
(
x
)
≥0
恒成立.
方法 2 分离参数法：求
f
(
x
)
≥ a∙ g(x)
¿
其中
g
(
x
)
>0¿
恒成立
⇔a ≤ f
(
x
)
g
(
x
)
恒成立.
方法 3 变更主元：题型特征(已知谁的范围把谁作为主元)；
方法 4 数形结合法：求
f
(
x
)
−g
(
x
)
≥0
恒成立
⇔
证明
y=f(x)
在
y=g(x)
的上方；
方法 5 同构法：对不等式进行变形，使得不等式左右两边式子的结构一致，再通过构造的函数单调性进行
求解；
方法 6 放缩法：利用常见的不等式或切线放缩或三角函数有界性等手段对所求不等式逐步放缩达到证明所
求不等式恒成立的目的；
学习各种方法时，要注意理解它们各自之间的优劣性，有了比较才能快速判断某种题境中采取哪种方法较
简洁，建议学习时一题多解，多发散思考.
方法 1 直接构造函数法与分离参数法
以下通过几题让大家感觉下直接构造函数法与分离参数法的优劣性！
【典题 1】 若
alnx+1
2x2−
(
1+a
)
x ≥ 0
恒成立，求
a
的取值范围.
【典题 2】已知函数
f
(
x
)
=ex−ax−1
．
(1)当
a=1
时，求
f(x)
的极值；
(2)若
f(x)≥ x2
在
¿
上恒成立，求实数
a
的取值范围．
【典题 3】设
f
(
x
)
=x
(
ex−1
)
−ax2
，
(1)若
a=1
2
，求
f
(
x
)
的单调区间；
(2)若当
x ≥ 0
时，
f
(
x
)
≥0
恒成立，求
a
的取值范围.
1 (★★) 已知函数
f(x)=ex+ax
，当
x ≥ 0
时，
f(x)≥0
恒成立，则
a
的取值范围为 .
2 (★★) 已知函数
f(x)=1+ln (1+x)
x(x>0)
，若
f(x)> k
x+1
恒成立，则整数
k
的最大值为 .
3 (★★)已知函数
f(x)=xlnx
．
(1)求
f(x)
的最小值；
(2)若对所有
x ≥ 1
都有
f
(
x
)
≥ ax−1
，求实数
a
的取值范围．
4 (★★)已知函数
f(x)=(x2−1)ex
，其中
a∈R
．
(1)求函数
f(x)
在
x=0
处的切线方程；
(2)
∀x ≥ 0
，
f
(
x
)
≥ ax−1
，求实数
a
的取值范围．
5 (★★★)已知函数
f(x)=(m−lnx )x(x>1)
．
(1)讨论
f(x)
的单调性；
专题3 单变量存在恒成立与存在性问题-【高分突破系列】2021-2022学年高二数学下学期同步知识点剖析精品讲义(人教A版2019选择性必修第二、三册) (原卷版).docx

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