专题03 因式分解-2021年初升高数学无忧衔接（苏教版2019）(解析版)

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专题 03 因式分解

初中对于因式分解的讲解，主要集中在基础的运用两个特殊公式（完全平方、平方差）的因式分解。相较

于初中的因式分解的学习，高中的要求相对上升不少，在原来的基础上增加了一部分公式，另外，高中对

于十字相乘法进行因式分解的问题设计的非常多，而初中教材已经删除了这一块内容。

《初中课程要求》 1、了解因式分解的意义，理解因式分解的概念；

2、认识因式分解与整式乘法的互逆关系；

3、能够熟练的运用公式法分解因式。

《高中课程要求》 1、在掌握因式分解的基础方法上进一步巩固提升；

2、能够利用三项和的平方、立方和、立方差、两数和（差）的

平方公式等进行因式分解；

3、能够熟练使用十字相乘法因式分解。

我们在初中已经学习过了下列一些乘法公式：

（1）平方差公式

a2− b2=（a+b）(a−b)

；

（2）完全平方公式

a2±2ab+b2=（a ± b ）²

．

（3）立方和公式

a3− b3=(a+b)(a2− ab+b2)

；

（4）立方差公式

a3+b3=(a −b)(a2+ab+b2)

；

（5）三数和平方公式

a2+b2+c2+2(ab+bc+ac)=(a+b+c)²

；

（6）两数和立方公式

a3+3a2b+3a b2+b3=(a+b)³

；

（7）两数差立方公式

a3−3a2b+3a b2−b3=(a−b)³

．

（8）两数差立方公式

x2+(a+b)x+ab=(x+a)( x+b)

专题综述

课程要求

知识精讲

初中知识储备：利用公式因式分解

高中增加知识：利用公式因式分解

例题 1．下面是某同学对多项式因式分解的过程．

解：设，

则原式（第一步）

（第二步）

（第三步）

（第四步）

解答下列问题：

（1）该同学第二步到第三步运用了因式分解的方法是（）

A．提取公因式 B．平方差公式 C．两数和的完全平方公式 D．两数差的完全平方公式

（2）该同学因式分解的结果是否彻底？（填“彻底”或“不彻底”）．若不彻底，请直接写出因式分解

的最后结果．

（3）请你模仿以上方法尝试对多项式进行因式分解．

【答案】（1）C；（2）因式分解不彻底，；（3）

【分析】

（1）先根据多项式乘以多项式计算，再用完全平方公式因式分解计算即可

（2）利用完全平方公式因式分解即可

（3）模仿给出的步骤，进行因式分解即可

【详解】

（1）∵ ，∴运用了两数和的完全平方公式．故选 C．

（2）∵ ，∴因式分解不彻底．

典例剖析

（3）设，则原式

．

【点睛】

本题考查因式分解、完全平方公式、多项式乘以多项式、换元法是解题的关键

1. 阅读理解并解答：

（方法呈现）

（1）我们把多项式及叫做完全平方式．在运用完全平方公式进行因式分解时，

关键是判断这个多项式是不是一个完全平方式，同样地，把一个多项式进行局部因式分解可以来解决代数

式值的最小（或最大）问题．

例如：，

，

．

则这个代数式的最小值是__________，这时相应的的值是__________．

（尝试应用）

（2）求代数式的最小（或最大）值，并写出相应的的值．

（拓展提高）

（3）将一根长的铁丝剪成两段，并以每一段铁丝的长度为周长各做成一个正方形，则这两个正方

形面积之和有最小（或最大）值？若有，求此时这根铁丝剪成两段后的长度及这两个正方形面积的和；若

没有，请说明理由．

【答案】（1），；（2）这个代数式的最大值是，这时相应的的值是；（3）

变式训练

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