专题03 一元二次方程根与系数的关系、二次函数的最值问题重难点突破（解析版）-【教育机构专用】2021年暑假初升高数学精品讲义（全国通用版）

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专题 03 一元二次方程根与系数的关系、二次函数的最值问题
现行初中数学教材主要要求学生掌握一元二次方程的概念、解法及应用，而一元二次方程的根的判断
式及根与系数的关系，在高中教材中的二次函数、不等式及解析几何等章节有着许多应用．本节将对一元
二次方程根的判别式、根与系数的关系进行阐述．二次函数 是初中函数的主要内
容，也是高中学习的重要基础．在初中阶段大家已经知道：二次函数在自变量 取任意实数时的最值情况
(当 时，函数在 处取得最小值 ，无最大值；当 时，函数在 处取得
最大值 ，无最小值．
一、知识结构思维导图
二、学法指导与考点梳理
1、一元二次方程的根的判断式
一元二次方程 ，用配方法将其变形为：
(1) 当 时，右端是正数．因此，方程有两个不相等的实数根：
(2) 当 时，右端是零．因此，方程有两个相等的实数根：
(3) 当 时，右端是负数．因此，方程没有实数根．
由于可以用 的取值情况来判定一元二次方程的根的情况．因此，把 叫做一元二次方
程 的根的判别式，表示为：
2、一元二次方程的根与系数的关系
一元二次方程 的两个根为：
所以： ，
定理：如果一元二次方程 的两个根为 ，那么：
三、重难点题型突破
例 1．（1）一元二次方程 根的情况是（ ）
A．有两个相等的实数根 B．只有一个实数根
C．有两个不相等的实数根 D．没有实数根
【答案】C
【分析】
先将一元二次方程化成一般形式，再利用根的判别式即可得．
【详解】
解：将一元二次方程 化成一般形式为 ，
此方程根的判别式为 ，
则此方程有两个不相等的实数根，
故选：C．
【点睛】
本题考查了一元二次方程根的判别式，熟练掌握一元二次方程根的判别式是解题关键．
（2）下列一元二次方程中，有两个不相等的实数根的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】
利用一元二次方程根的判别式逐项判断即可得．
【详解】
A、方程 的根的判别式为 ，则方程有两个相等的实数根，此项不符
题意；
B、方程 的根的判别式为 ，则方程没有实数根，此项不符题意；
C、方程 的根的判别式为 ，则方程没有实数根，此项不符题意；
D、方程 的根的判别式为 ，则方程有两个不相等的实数根，此项符
合题意；
故选：D．
【点睛】
本题考查了一元二次方程根的判别式，熟练掌握一元二次方程根的判别式是解题关键．
（3）已知 ， 为一元二次方程 的两根，那么 的值为（ ）
A．9 B．10 C．11 D．12
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