专题03 利用导数研究函数恒成立问题（原卷版）-2021-2022学年高二数学下学期期末必考题型归纳及过关测试（人教A版2019）

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专题 03 利用导数研究函数恒成立问题

【考点预测】

1.分离参数法解含参不等式恒成立问题的思路

用分离参数法解含参不等式恒成立问题，是指在能够判断出参数的系数正负的情况下，可以根据不等

式的性质将参数分离出来，得到一端是参数，另一端是变量表达式的不等式，只要研究变量表达式的最值

就可以解决问题．

一般地，若对恒成立，则只需；若对恒成立，则只需

。

2.直接讨论法

直接讨论法是指但成立问题中的函数结构并不是很复杂，可以通过直接求导得到极值点，再对极值点

直接讨论，从而求得参数的取值情况.其常用的手段是因式分解、求根公式以及观察法 ;若无法求得极值时，

常可利用零点存在性定理，确定零点的范围后再进行讨论，研究函数的单调性等.

3.放缩法

在解决导数问题时，如果出现了指数与对数、三角与对数、三角与指数，或其它超越函数的组合时，

则会因函数结构的复杂使问题的解决变得困难.如果我们利用熟悉的不等式过渡，利用不等式进行放缩，将

原函数的复杂结构转化为较为简单的结构，则可提高解题速度，使解题效率大幅度地提高 .其主要的放缩手

段有以下三种：

（1）利用函数的有界性直接放缩;

（2）对一阶导数进行放缩;

（3）对二阶导数放缩.

【典型例题】

例1．（2022·山东·德州市教育科学研究院高二期中）设函数，．

(1)讨论函数的单调性；

(2)当时，若关于 x的不等式在上恒成立，求实数 b的取值范围．

例2．（2022·北京·北理工附中高二期中）已知函数 .

(1)当时，求的单调区间：

(2)若对恒成立，求实数 a的取值范围.

例3．（2022·安徽·合肥市庐阳高级中学高二期中）已知函数

(1)讨论函数的单调性

(2)设，当时，若对任意，使，求实数的取值范围

例4．（2022·山东济宁·高二期中）已知函数．

(1)讨论的单调性；

(2)当时，证明；

(3)若对任意的不等正数，总有，求实数的取值范围．

例5．（2022·山东泰安·三模）已知函数，．

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