专题03 利用导数研究函数恒成立问题（解析版）-2021-2022学年高二数学下学期期末必考题型归纳及过关测试（人教A版2019）

3.0 envi 2025-05-06 11 4 1.29MB 28 页 3知币
侵权投诉
专题 03 利用导数研究函数恒成立问题
【考点预测】
1.分离参数法解含参不等式恒成立问题的思路
用分离参数法解含参不等式恒成立问题，是指在能够判断出参数的系数正负的情况下，可以根据不等
式的性质将参数分离出来，得到一端是参数，另一端是变量表达式的不等式，只要研究变量表达式的最值
就可以解决问题．
一般地，若 对 恒成立，则只需 ；若 对 恒成立，则只需
。
2.直接讨论法
直接讨论法是指但成立问题中的函数结构并不是很复杂，可以通过直接求导得到极值点，再对极值点
直接讨论，从而求得参数的取值情况.其常用的手段是因式分解、求根公式以及观察法 ;若无法求得极值时，
常可利用零点存在性定理，确定零点的范围后再进行讨论，研究函数的单调性等.
3.放缩法
在解决导数问题时，如果出现了指数与对数、三角与对数、三角与指数，或其它超越函数的组合时，
则会因函数结构的复杂使问题的解决变得困难.如果我们利用熟悉的不等式过渡，利用不等式进行放缩，将
原函数的复杂结构转化为较为简单的结构，则可提高解题速度，使解题效率大幅度地提高 .其主要的放缩手
段有以下三种：
（1）利用函数的有界性直接放缩;
（2）对一阶导数进行放缩;
（3）对二阶导数放缩.
【典型例题】
例1．（2022·山东·德州市教育科学研究院高二期中）设函数 ， ．
(1)讨论函数 的单调性；
(2)当 时，若关于 x的不等式 在 上恒成立，求实数 b的取值范围．
【答案】(1)答案见详解；
(2) ．
【解析】
【分析】
（1）对函数求导，讨论 与 即可分析其单调性；
（2）法一：令 ，求导得 ，根据 的单调性
分析 单调性，再求出 的最小值，从而得 b的取值范围；法二，令 ，则
在R上恒成立，分离参数求函数最值即可．
(1)
的定义域为 ，
当 时， ，故 在 R上递减．
当 时，令 得 ，令 得
综上可知： 时， 在 上单调递减
时， 在 上单调递减，在 单调递增
(2)
当 时， ，所以
因为 在 恒成立，即 在 恒成立
法一：令 ，
令 ， ，
所以 在 单调递增，又
所以当 时， ， 单调递减，当 时， ， 单调递增
所以当 时， ，所以
法二： 式化为
令 ，
则 在 R上恒成立，所以
令 ， ，令
所以 在 单调递减，在 单调递增，
所以
所以 ．
例2．（2022·北京·北理工附中高二期中）已知函数 .
(1)当 时，求 的单调区间：
(2)若 对 恒成立，求实数 a的取值范围.
【答案】(1)增区间是 ，减区间是 ；
(2)
【解析】
【分析】
（1）求出导函数 ，解不等式 得增区间， 得减区间．
（2）求出导函数，由导函数确定 的最大值，再引入新函数，由导数确定新函数的单调性，然后由
得 的范围．
(1)
，定义域是 ，
由题意 ，
专题03 利用导数研究函数恒成立问题（解析版）-2021-2022学年高二数学下学期期末必考题型归纳及过关测试（人教A版2019）.docx

共28页,预览5页

还剩页未读， 继续阅读

相关推荐

更多
立即下载
作者：envi 分类：初中 价格：3知币 属性：28 页 大小：1.29MB 格式：DOCX 时间：2025-05-06

开通VIP享超值会员特权

  • 多端同步记录
  • 高速下载文档
  • 免费文档工具
  • 分享文档赚钱
  • 每日登录抽奖
  • 优质衍生服务

作者详情

相关内容

更多

推荐作者

热门标签

大联考 高考地理 英语真题 听力 语法填空 石家庄 数学竞赛 读后续写 英语阅读 深圳中学
/ 28
评分 收藏
分享
立即下载
客服
关注