专题03 平面向量中的常用方法（原卷版） -【重难点突破】2021-2022学年高一数学常考题专练（人教A版2019必修第二册）

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专题 03 平面向量中的常用方法
【例】 湖南长郡中学 2021 届高三月考——一题多解
1．在矩形 ABCD 中，AB=1，AD=2，AC 与BD 相交于点 O，过点 A作AE⊥BD，则 =（
）
O
E
D
C
A
B
题型一 基底法
1．骑自行车是一种能有效改善心肺功能的耐力性有氧运动，深受大众喜爱，如图是某一自行车的平面结
构示意图，已知图中的圆 （前轮），圆 （后轮）的半径均为 ， ， ， 均是边长
为4的等边三角形．设点 为后轮上的一点，则在骑动该自行车的过程中， 的最大值为 　　
A．18 B．24 C．36 D．48
2．已知圆 半径为 2，弦 ，点 为圆 上任意一点，则 的最大值是 　 　
A D 3
ABE
BECECD
P
AC BP
              
( )
2AB
C O
AB AC
 
A
B
C
3．窗花是贴在窗纸或户玻璃上的剪纸，是中国古老的传统民间艺术之一．每年新春佳节，我国许多地区
的人们都有贴窗花的习俗，以此达到装点环境、渲染气氛的目的，并寄托着辞旧迎新、接福纳祥的愿望．
图一是一张由卷曲纹和回纹构成的正六边形剪纸窗花，已知图二中正六边形 的边长为 4，圆 的
圆心为正六边形的中心，半径为 2，若点 在正六边形的边上运动， 为圆 的直径，则 的取
值范围是 　 ， 　．
题型二 建系法
4．如图，边长为 1的正三角形 的边 落在直线 上， 中点与定点 重合，顶点 与定点 重合．
将正三角形 沿直线 顺时针滚动，即先以顶点 为旋转中心顺时针旋转，当顶点 落在 上，再以顶
点 为旋转中心顺时针旋转，如此继续．当 滚动到△ 时，顶点 运动轨迹的长度为　 　；
在滚动过程中， 的取值范围为　　．
ABCDEF
O
P
MN
O
PM PN
              
[8
12]
ABC AC
l
AC
O
B P
ABC
l
C
B
l
BABC1 1 1
ABC B
8
3
OB OP
              
江苏省 2021 届高三 G4：苏州中学、常州中学、盐城中学、扬州中学四校联考第 7题
5．已知△ABC 为等边三角形，AB=2，△ABC 所在平面内的点 P满足 ， 的最小
值为（ ）
新课标Ⅱ.理 12
6．已知 是边长为 2的等边三角形， 为平面 内一点，则 的最小值是 　　
A．B．C．D．
7．在 中， ， ， ， 在边 上（不与端点重合）．延长 到 ，使得
．当 为 中点时， 的长度为　 　；若 为常数 且 ，
则 的长度是　　．
揭阳市 2020-2021 高三质量测试第 7题
7．在矩形 ABCD 中，AB＝4，AD＝3，M，N分别是 AB，AD 上的动点，且满足 ，设
，则 的最小值为_______
题型三 构造函数法
8．已知向量 ， ， ， ．
ABC
3BC
4AC
90ACB  
D
AB
CD
P
9CP
D
AB PD
13
2
3
( ) (
2
PC mPA m PB m  
                           
0m
3)
2
m
BD
( 3, 2)a 
(2,1)b
(3, 1)c 
t R
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